递归——以全排列和n皇后问题举例

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笔记来自【晴神宝典】

一、递归

递归 就在于反复调用自身函数，但是每次都把问题范围缩小，直到范围可以缩小到可以直接得到边界数据的结果，然后在返回路上求出对应的解。以上可看出，递归很适合用来实现分治思想。

递归两个很重要的组成组成：

1、递归边界(出口)；

2、递归式。

二、全排列 (Full Permutation)

【可画图，便于理解】

#include <cstdio>
const int maxn=100;
//P为当前排列，hashTable记录整数x是否已经在P中 
int n, P[maxn], hashTable[maxn]={false};
//当前处理排列的第index号位
void generateP(int index){
	if(index==n+1){
		for(int i=1; i<=n; i++){
			printf("%d", p[i]);
		}
		printf("\n");
		return ;
	}
	for(int x=1; x<=n; x++){
		if(hashTable[x]==false){
			P[index]=x;
			hashTable[x]=true;
			generateP(index+1);
			hashTable[x]=false; //已处理完p[index]为x的子序列问题，还原状态 
		} 
	}
} 
int main() {
	n=3; 
	generateP(1);
	return 0;
}

二、n皇后问题

n皇后问题 是指在一个 n*n 的国际象棋棋盘上放置n个皇后，使得这n个皇后两两均不在同一行、同一列、同一条对角线上，求合法的方案数。

1、暴力法（枚举所有情况）

#include <cstdio>
#include<math.h>
const int maxn=100;
int n, P[maxn], hashTable[maxn]={false};
int count=0;
void generateP(int index){
	if(index==n+1){
		bool flag=true;
		for(int i=1; i<=n; i++){
			for(int j=i+1; j<=n; j++){
				if(abs(i-j)==abs(P[i]-P[j])){ //如果在同一对角线上 
					flag=false; //不合法 
				}
			}
		}
		if(flag) count++;
		return ;
	}
	for(int x=1; x<=n; x++){
		if(hashTable[x]==false){
			P[index]=x;
			hashTable[x]=true;
			generateP(index+1);
			hashTable[x]=false; //已处理完p[index]为x的子序列问题，还原状态 
		} 
	}
} 
int main() {
	n=8; 
	generateP(1);
	printf("%d", count); //92
	return 0;
}

2、回溯法

到达递归边界前的某层时，由于一些事实导致已经不需要再往下递归了，就直接返回上一层。

#include <cstdio>
#include<math.h>
const int maxn=100;
int n, P[maxn], hashTable[maxn]={false};
int count=0;
void generateP(int index){
	if(index==n+1){
		count++; //能到递归边界一定是合法的
		return ; 
	}
	for(int x=1; x<=n; x++){
		if(hashTable[x]==false){//第x行还没有皇后 
			bool flag=true;
			for(int pre=1; pre<index; pre++){//遍历之前的皇后 
				if(abs(index-pre)==abs(x-P[pre])){//是否与之前的皇后对角线冲突 
					flag=false;
					break; 
				}
			}
			if(flag==true){
				P[index]=x;
				hashTable[x]=true;
				generateP(index+1);
				hashTable[x]=false; //已处理完p[index]为x的子序列问题，还原状态 
			}
		} 
	}
} 
int main() {
	n=8; 
	generateP(1);
	printf("%d", count); //92
	return 0;
}