什么是二分查找？
二分查找算法是一种针对有序集合的查找算法，也叫折半查找。
实现原理
每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为0。（特别注意前提是针对有序的数据集合）
时间复杂度
二分查找是一种非常高效的查找算法，他的时间复杂度是O(logn)，我们可以假设数据大小是n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。那么被查找的区间大小变化为：n，n/2，n/4，n/8…n/2^k，可以看出这是一个等比数列，其中n/2k=1时，k的值就是总共缩小的次数，而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了k次区间缩小操作，时间复杂度就是O(k)。通过n/2k=1，我们可以求得
所以时间复杂度就是O(logn)。另外，logn是一个非常“恐怖“的数量级，即便n非常大，对应的logn也很小。比如n等于2的32次方，也就是42亿，而logn才32。
二分查找的非递归实现
def bsearch(a,value):
low=0
high=len(a)-1
while(low<=high):
mid=(low+high)//2
if a[mid]==value:
return mid
elif a[mid]>value:
high=mid-1
else:
low=mid+1
return -1
a=[1,2,3,4,5,6]
print(bsearch(a,6))
注意：
1.循环退出条件
注意是 low<=high，而不是 low<high。
2.mid的取值
mid的取值，使用mid=low + (high - low) / 2，而不用mid=(low + high)/2，因为如果low和high比较大的话，求和可能会发生int类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致，可以将除以2转换成位运算，即low + ((high - low) >> 1)，因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
3.low和high的更新
low = mid - 1，high = mid + 1，若直接写成low = mid，high=mid，就可能会发生死循环。比如，我们假设low=5，high=5，此时如果a[5]不等于value，那么此时就会陷入死循环。
二分查找的递归实现
def bsearch(a,value):
low=0
high=len(a)-1
return bsearchInternally(a,low,high,value)
def bsearchInternally(a,low,high,value):
if low>high:
return -1
mid=(low+high)//2
if a[mid]==value:
return mid
elif a[mid]>value:
high=mid-1
return bsearchInternally(a,low,high,value)
else:
low=mid+1
return bsearchInternally(a,low,high,value)
a=[1,2,3,4,5,6]
print(bsearch(a,5))
二分查找应用场景的局限性
虽然二分查找速度很快，时间复杂度为O(logn)，但是并不是什么情况下都可以使用二分查找。
1.二分查找依赖的是顺序表结构，即数组。
那二分查找能否依赖其他数据结构呢？比如链表。答案是不可以的，主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素，数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是O(n)。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。
2.二分查找针对的数据集合必须是有序的
二分查找针对的是有序数据，因此只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。那针对动态数据集合，如何在其中快速查找某个数据呢？可以使用二叉树，后续我们也会讲到。
3.数据量太小不适合二分查找
因为如果要处理的数据量很小，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。优势并不明显。不过，这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，我都推荐使用二分查找。因为假如数组中存储的都是长度超过300的字符串ao，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。我们需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。
4.数据量太大也不适合二分查找
前面我们说到二分查找需要依赖顺序表结构，也即是数组，而数组是需要连续的储存空间，如果要查找的数据量非常大，往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。
二分查找变形问题（重要）：
前面我们讲的是最简单的一种二分查找算法。看起来还是比较简单的，但是它的变形问题就比较复杂了。二分查找的变形问题很多，这里我们只讲解几个典型的例子：
- 查找第一个值等于给定值的元素
- 查找最后一个值等于给定值的元素
- 查找第一个大于等于给定值的元素
- 查找最后一个小于等于给定值的元素
查找第一个值等于给定值的元素
def bsearch(a,value):
low=0
high=len(a)-1
while(low<=high):
mid=low+((high-low)>>1)
if a[mid]<value:
low=mid+1
elif a[mid]>value:
high=mid-1
else:
#这里先判断mid是否等于0，如果是说明是第一个了，另外如果mid不等于0，但a[mid]的前一个元素a[mid-1]不等于value，说明也是a[mid]就是我们要查找的第一个等于value的元素
if (mid==0||a[mid-1]!=value):
return mid
else:
#如果经过检查之后发现a[mid]前面的一个元素a[mid-1]也等于value,那就说明a[mid]肯定不是我们要查找的第一个值等于value的元素。那我们就更新high的值，因为要查找的元素肯定会出现在[low,mid-1]之间。
high=mid-1
return -1
a=[1,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5]
print(bsearch(a,4))
同样的思路，我们写下查找最后一个值等于给定值的元素
def bsearch3(a,value):
low=0
high=len(a)-1
while(low<=high):
mid=low+((high-low)>>1)
if a[mid]<value:
low=mid+1
elif a[mid]>value:
high=mid-1
else:
if ((mid==len(a)-1)or(a[mid+1]!=value)):
return mid
else:
low=mid+1
return -1
a=[1,2,3,3,4,4,4,5,5,5,5]
print(bsearch3(a,4))
查找第一个大于等于给定值的元素：
def bsearch4(a,value):
low=0
high=len(a)-1
while(low<=high):
mid=low+((high-low)>>1)
if a[mid]>=value:
#注意这里
if (a[mid]==0)or(a[mid-1]<value):
return mid
else:
high=mid-1
else:
low=mid+1
return -1
a=[1,2,5,6]
print(bsearch4(a,3))
查找最后一个小于等于给定值的元素
def bsearch5(a,value):
low=0
high=len(a)-1
while(low<=high):
mid=low+((high-low)>>1)
if a[mid]<=value:
if (a[mid]==len(a)-1)or(a[mid+1]>value):
return mid
else:
low=mid+1
else:
high=mid-1
return -1
a=[1,2,5,9]
print(bsearch5(a,8))
二分查找应用场景:
1.凡事能用二分查找解决的，绝大部分我们更倾向于用散列表或者二叉查找树，即便二分查找在内存上更节省，但是毕竟内存如此紧缺的情况并不多。
2.二分查找适用于近似查找，如第一个≥给定值的元素，第一个≤给定值的元素，都是二分查找的变体。而一般情况下查找某个给定值，二叉查找树和散列表更适合。