点到点轨迹规划归纳

常用方法

三次曲线，五次曲线，梯形曲线，S曲线

背景知识

冲击

类别
1)刚性冲击
在运动的起点和终点处，速度发生突变。此时加速度理论上为无穷大，产生无穷大的惯性力，机构将产生极大的冲击，称为刚性冲击。
2)柔性冲击
柔性冲击是相对于刚性冲击而言的。在运动的起点和终点，速度没有突变，因此不存在刚性冲击；但加速度产生突变，产生较大的惯性力，由此引起的冲击称为柔性冲击。

区别
输入→输出
刚性冲击→速度突变
柔性冲击→加速度突变

影响
输入→输出
刚性冲击→无穷大惯性力，极大冲击
柔性冲击→较大惯性力

方法对比

三次曲线

公式
$s(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^2+a_{3}t^3$

输入
$s(0)$ $s(T)$ $\dot{s}(0)$ $\dot{s}(T)$

输出
$a_{0}$ $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$

曲线

特点
$\dot{s}(0)$ $\dot{s}(T)$不连续，即有冲击

五次曲线

公式
$s(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^2+a_{3}t^3+a_{4}t^4+a_{5}t^5$

输入
$s(T)$ $\dot{s}(0)$ $\dot{s}(T)$ $\ddot{s}(0)$ $\ddot{s}(T)$

输出
$a_{0}$ $a_{1}$ $a_{2}$ $a_{3}$ $a_{4}$ $a_{5}$

曲线

特点
$\dot{s}(0)$ $\dot{s}(T)$连续，消除三次曲线缺点

梯形曲线

公式
$0\leq t\leq \frac{v}{a}: s(t)=\frac{1}{2}at^2$
$\frac{v}{a}\leq t\leq T-\frac{v}{a}: s(t)=vt-\frac{v^2}{2a}$
$T-\frac{v}{a}\leq t\leq T:s(t)=\frac{2avT-2v^2-a^2(t-T)^2}{2a}$

输入
$s(T)$ $t_{a}=\frac{v}{a}$(指定v,a v,T或a,T)

输出
1)指定v,a→T
2)指定v,T→a
3)指定a,T→v

曲线

特点
$t=0$, $t_{a}$, $T-t_{a}$, $T$四个时刻加速度不连续，存在冲击

场景
电机控制中常用。

S曲线

公式
$J=\frac{a^2v}{T_{f}va-v^2-a}$, $t_{1}=\frac{a}{J}$, $t_{2}=\frac{v}{a}-\frac{a}{J}$, $t_{3}=\frac{a}{J}$, $t_{4}=\frac{2}{v}-T$, $t_{5}=\frac{a}{J}$, $t_{6}=\frac{v}{a}-\frac{a}{J}$, $t_{7}=\frac{a}{J}$

Section1:
以恒定的痉挛J（加速度的导数）使加速度从0增加到预先设定的a
$0\leq t< t_{1}: s(t)=\frac{1}{6}Jt^3$
*Section2:
以恒定的加速度加速
$t_{1}\leq t< t_{1}+t_{2}: s(t)=\frac{1}{2} a(t-t_{1})^2+ \frac{a^2}{2J}(t-t_{1})+\frac{a^3}{6J^2}$

Section3:
已恒定的负的痉挛J（加速度的导数）使加速度从预先设定的a减到0
$t_{1}+t_{2} \leq t < t_{1}+t_{2}+t_{3}:s(t)=-\frac{1}{6}J(t-t_{1}-t_{2})^3+\frac{1}{2}a(t-t_{1}-t_{2})^2+(at_{2}+\frac{a^2}{2J})·(t-t_{1}-t_{2})+\frac{1}{2}at_{2}^2+\frac{a^2}{2J}t_{2}+\frac{a^3}{6J^2}$

Section4:
以恒定的速度v匀速运动
$t_{1}+t_{2}+t_{3} \leq t < t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}:s(t)=(-\frac{1}{2}Jt_{3}^2+at_{3}+at_{2}+\frac{a^2}{2J})(t-t_{1}-t_{2}-t_{3})-\frac{1}{6}Jt_{3}^3+\frac{1}{2}at_{3}^2+(at_{2}+\frac{a^2}{2J})·t_{3}+\frac{1}{2}at_{2}^2+\frac{a^2}{2J}t_{2}+\frac{a^3}{6J^2}$

Section5:
已恒定的负的痉挛J（加速度的导数）使加速度从0减到预先设定的-a
$t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4} \leq t < t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}+t_{5}:s(t)=1-s(t')其中t'=T-t$

Section6:
以恒定的加速度-a减速
$t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}+t_{5} \leq t < t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}+t_{5}+t_{6}:s(t)=1-s(t')其中t'=T-t$

Section7:
以恒定的痉挛J（加速度的导数）使加速度从预先设定的-a增加到0
$t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}+t_{5}+t_{6} \leq t < t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}+t_{5}+t_{6}+t_{7}:s(t)=1-s(t')其中t'=T-t$

输入
$J,t_{2},t_{4}$

输出
1) $a \leq v^2$ 无解
2) $v^2 < a \leq 2v^2:\frac{v}{a}+\frac{1}{v} < T \leq \frac{2}{v}$
3) $a>2v^2: \frac{v}{a} + \frac{v}{1} < T \leq \frac{2v}{a} + \frac{1}{v}$

曲线

特点
$t=0$, $t_{a}$, $T-t_{a}$, $T$四个时刻加速度连续

参考文献

[1]刚性冲击
[2]柔性冲击
[3]点到点轨迹规划——三次曲线，五次曲线，梯形曲线，S曲线