动态规划专题之最长公共子序列

动态规划系列专题讲义

专题三：最长公共子序列

/* 
  Name: 动态规划专题之最长公共子序列 
Author:  巧若拙 
  Description: 1808_公共子序列
描述：我们称序列Z = < z1, z2, ..., zk >是序列X = < x1, x2, ..., xm >的子序列当且仅当存在 严格上升 的序列< i1, i2, ..., ik >，使得对j = 1, 2, ... ,k, 有xij = zj。比如Z = < a, b, f, c > 是X = < a, b, c, f, b, c >的子序列。
现在给出两个序列X和Y，你的任务是找到X和Y的最大公共子序列，也就是说要找到一个最长的序列Z，使得Z既是X的子序列也是Y的子序列。
输入：输入包括多组测试数据。每组数据包括一行，给出两个长度不超过200的字符串，表示两个序列。两个字符串之间由若干个空格隔开。
输出：对每组输入数据，输出一行，给出两个序列的最大公共子序列的长度。
样例输入
abcfbc         abfcab
programming    contest 
abcd           mnp
样例输出
4
2
0
*/
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>

using namespace std;

const int N = 200;
int B[N+1][N+1];
int B1[N+1][N+1];
int pre[N+1]; //pre[j]相当于B1[i-1][j]   
int cur[N+1]; //cur[j]相当于B1[i][j] 
string X, Y; 

int LCSLength(int i, int j);//自顶向下的备忘录算法
int LCSLength_1(int n, int m);//动态规划 
int LCSLength_2(int n, int m);//动态规划 
void PrintLCS(int i, int j);

int main()
{  
    while (cin >> X >> Y)
    {
		memset(B, 0, sizeof(B));
		memset(pre, 0, sizeof(pre));
    	cout << LCSLength(X.length(), Y.length()) << endl;
    	cout << LCSLength_1(X.length(), Y.length()) << endl;
    	cout << LCSLength_2(X.length(), Y.length()) << endl;
    	PrintLCS(X.length(), Y.length());
	}
    
   
    return 0;  
}  

算法2：备忘录算法：自顶而下，需要用到全局变量B[N+1][N+1]。
int LCSLength(int i, int j) 
{
	if (B[i][j] != 0)
		return B[i][j];
	
	if (i == 0 || j == 0) 
		B[i][j] =   //语句1
	else if (X[i-1] == Y[j-1])
		B[i][j] =  //语句2
	else
		B[i][j] = max(   );  //语句3
 
	return B[i][j];
}
问题1：将语句1，语句2和语句3补充完整。

参考答案：
问题1：语句1：B[i][j] = 0;
       语句2：B[i][j] = LCSLength(i-1, j-1) + 1;
语句3：B[i][j] = max(LCSLength(i-1, j), LCSLength(i, j-1));

算法2：动态规划：自底而上，需要用到全局变量B1[N+1][N+1]。
int LCSLength_1(int n, int m)  
{
	for (int i=1; i<=n; i++)
	{
		for (int j=1; j<=m; j++)
		{
			if (X[i-1] == Y[j-1])
				B1[i][j] =      //语句1
			else
				B1[i][j] =      //语句2
		}
	}
 
	return B1[n][m];
}
问题1：将语句1和语句2补充完整。

参考答案：
问题1：语句1：B1[i][j] = B1[i-1][j-1] + 1;
       语句2：B1[i][j] = max(B1[i-1][j], B1[i][j-1]);

算法3：动态规划：使用2个数组存储记录，需要用到全局变量pre[]和cur[]均初始化为0。
int LCSLength_2(int n, int m) 
{
	for (int i=1; i<=n; i++)
	{
		for (int j=1; j<=m; j++)
		{
			if (X[i-1] == Y[j-1])
				cur[j] =     //语句1
			else
				cur[j] =     //语句2
		}
		for (int j=1; j<=m; j++)
		{
			pre[j] = cur[j];
		}
	}
 
	return pre[m];
}
问题1：将语句1和语句2补充完整。

参考答案：
问题1：语句1：cur[j] = pre[j-1] + 1;
       语句2：cur[j] = max(pre[j], cur[j-1]);

拓展练习：在算法1中，我们用二维数组B[][]记录了各种解的信息，现在请你根据B[][]记录的信息，设计一个递归函数void PrintLCS(int i, int j);//i和j分别表示字符串X的第i个字符和字符串Y的第j个字符。
参考答案：
void PrintLCS(int i, int j)
{
    if (i == 0 || j == 0)
        return;
    if (X[i-1] == Y[j-1])
    {
        PrintLCS(i-1, j-1);
        cout << "x[" << i-1 << "]= " << X[i-1] << " : "<< "y[" << j-1 << "]= " << Y[j-1] << endl;
    }
    else if(B[i-1][j] > B[i][j-1])//先向上层走 
        PrintLCS(i-1, j);
    else                          //再向左边走 
        PrintLCS(i, j-1);
}

课后练习：
练习1：编辑距离
描述：A和B是2个字符串。要用最少的字符操作将字符串A转换为字符串B。
这里所说的字符操作包括 (1)删除一个字符； (2)插入一个字符； (3)将一个字符改为另一个字符。
将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A到B的编辑距离，记为 d(A,B)。
试设计一个有效算法，对任给的2 个字符串A和B，计算出它们的编辑距离d(A,B)。
Input：输入的第一行是字符串A，文件的第二行是字符串B。
Output：程序运行结束时，将编辑距离d(A,B)输出。
Sample Input
fxpimu
xwrs
Sample Output
5

练习2：电路布线
描述：在一块电路板的上、下两端分别有n个接线柱。根据电路设计，要求用导线（i，π(i)）将上端接线柱i与下端接线柱π(i)相连。
其中，π(i)，1<=i<=n是{1，2，…，n}的一个排列。导线（i，π(i)）称为该电路板上的第i条连线。对于任何1<=i π(j)。
在制作电路板时，要求将这n条连线分布到若干绝缘层上。在同一层上的连线不相交。
你的任务是要确定将哪些连线安排在第一层上，使得该层上有尽可能多的连线。换句话说，就是确定导线集Nets={ i，π(i)，1<=i<=n}的最大不相交子集。
输入：输入文件第一行为整数n；第二行为用一个空格隔开的n个整数，表示π(i)。
输出：输出文件第一行为最多的连线数m，第2行到第m+1行输出这m条连线（i，π(i)）。
【输入样例】
10
1 8
2 7
3 4
4 2
5 5
6 1
7 9
8 3
9 10
10 6
【输出样例】
4