0.math库里的实现（库里？）
在写这个函数之前，我想先查查c语言math库里自带的pow是怎么实现的
我先是在math.h里找，结果只找到了这个
_CRTIMP double __cdecl pow (double, double);
和这个
/* 7.12.7.4 The pow functions. Double in C89 */
extern float __cdecl powf (float, float);
#ifndef __NO_INLINE__
__CRT_INLINE float __cdecl powf (float x, float y)
{return (float) pow (x, y);}
#endif
extern long double __cdecl powl (long double, long double);
您这只给个声明不给我函数定义是几个意思啊
既然库文件查不到，我就上谷歌里搜搜吧
突然，不知怎的，我有一种不好的预感
果然，我啥也没查到，倒是有一大堆人在那里研究pow是怎么实现的
更有甚者，只写了一个for循环，然后给出示例
double value3 = mypow(5.21,4.11);
printf("value3 = %f\n", value3);
我还特意用手机算了一下5.21的4.11次幂
您说您这不是自欺欺人吗？
但我就好奇了，math.h的源代码到底定义在哪里呢？
终于在知乎上找到了答案，感谢Belleve大佬，点击这里查看
math.h 里的函数都是定义在 libm 里，而每个 libm 实现都不同
gcc 的 glibm 中数学函数的实现完全是平台依存的，在 x86 机器上，能调用 FPU 指令的就用 FPU（比如 sqrt() 就实际上调用 FSQRT，log() 调用的是 FYL2X），否则再自己实现
如果需要软件实现，方法基本上是泰勒级数。当然对于 sin 这类，可以用专门的优化算法，比如 CORDIC
CPU 中的电路基本上也就是泰勒级数。
原来是个叫libm的东西，gcc的就叫glibm
那glibm在哪里呢？在glibc，也就是c标准库里
是在是不想再在mac里找各种文件了，我再重新下载一个吧
libm.so位于 libc6-dev 这个包里，那就到pkgs.org上找找
结果网速感人，5MB的文件可能要下十分钟，在这个空档，我又搜了一下x86浮点运算指令集
果然不好好学汇编是要付出代价的，这些用软件实现费劲的函数，几条汇编指令就搞定了，比如说以下几条
| 指令 | 说明 |
|---|---|
| f2xm1 | 计算2的乘方（次数为st0中的值），减去1 |
| fyl2x | 计算st1*log st0 以2为底 |
| fyl2xp1 | 计算st1*log (st0 + 1) 以2为底 |
我又想到存储浮点数的IEEE标准，这个计算乘方和log以2为底真是引人深思啊
既然浮点数在寄存器里就是指数形式储存的，直接在[1:8]位操作不就行了？再加上上面的浮点运算指令，搞定！
这时候文件也下载好了，开始念咒语（Windows的同学别学我哈，容易被室友当成疯子）
ar -vx libc6-dev_2.28-2_i386.deb
tar -xzvf data.tar.gz
然后肉眼搜索（一个一个文件夹点开……）
终于在usr/lib/i386-linux-gnu里找到了libm.so
干啊，.so的文件我还打不开，.so惹不起.a总能打开吧
敲代码！
#include <stdio.h>
int main() {
FILE *fp = fopen("libm.a","rb");
char element;
while(!feof(fp)){
element = getc(fp);
printf("%2x",element);
}
fclose(fp);
return 0;
}
然而也仅仅是打开了而已，有啥用呢，读起来要累死人
还是用synalysis吧，Synalyze It!
结果对着一大堆二进制文件synalyze半个小时，体验极其糟糕
看到了一大堆ieee754，和各种powf32，powf64
因为最后实在读不下去了，就姑且认为我的猜测就是正确的吧（我咋怎么懒）
要是有哪位大佬看到了pow在libm.a里的实现，请务必告诉我！！！
其实我还想知道像f2xm1，fyl2x这样的指令在底层（门电路层次）是如何实现的，计算系统基础扎实的同学请务必带带我！！！
不扯淡了，我们现在切入正题，尝试用不同的方法实现pow函数
1.牛顿迭代法实现pow
其实这个方法是很容易想到的，特别是在尝试用牛顿迭代法实现sqrt函数之后，很自然的联想到也可以用这个方法解决pow函数的实现
首先考虑计算pow(2.17,3.14)
我们可以用for循环实现pow(2.17,3)
接下来只要把pow（2.17，0.14）也计算出来，再把两部分乘到一起，问题就解决了
后面的那部分，也就是一个数的小数次幂怎么算呢？
我再分
将0.14分成0.1和0.04，0.04就是0.01*4
由牛顿迭代法，我们就可以求出pow（2.17,0.1）和pow（2.17,0.01），以及整数次幂pow（2.17,3）,这样我们就可以把这个值算出来
还是稍微写一下原理吧
计算2.170.1，即解出方程x10=2.17的根，然后百度百科吧……
用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程 f(x)=0线性化的一种近似方法。把 f(x)在点x0的某邻域内展开成泰勒级数
取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即 f(x0)+f’(x0)(x-x0)=0，以此作为非线性方程f(x)=0的近似方程，若f’(x0)!=0，则其解为
这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式
下面还有一些细节问题，例如当pow(x,y)中的x为负数，y为整数时，函数会正常工作，但y若是小数，就会返回nan
那我们根据x和y的取值列一个表格
| x,y情况 | 返回值 |
|---|---|
| x>0&&y>0 | 计算，存储为answer，return answer |
| x>0&&y=0 | return 1 |
| x>0&&y<0 | 将y取反，当作第一种情形运算，return 1/answer |
| x=0&&y>0 | return 0 |
| x=0&&y<=0 | return 0/0(即NaN) |
| x<0&&y为整数 | 计算 |
| x<0&&y不为整数 | return 0/0（即NaN） |
但是实际上我们不能制造出nan，于是可以将0.000000作为nan输出
以及pow函数的精度问题，我们可以通过控制y具体计算到小数点后几位来决定pow保留的精度
先写个小函数求绝对值
double Absolute(double a){
if(a<0){
a=-1*a;
}
return a;
}
再写个函数，计算x的y次幂，这个y是像0.1，0.01，0.001这样的小数，实际上，这样的小数可以写成10^-n的形式，我们只需要传整数n到函数中
double func1(double x, int n){
int number=1;
int i,j;
double x1n=1,x1=1; //x1n表示x1的number次幂
for(i=0;i<n;i++){ //number即10^n
number=number*10;
}
while(Absolute(x1n-x)>0.0001){ //通过牛顿迭代法计算t^number=x(t为未知数)的根
x1n=1;
for(j=0;j<number;j++){
x1n=x1n*x1;
}
x1=((number-1)*x1n+x)/(number*x1n/x1);
x1n=1;
for(j=0;j<number;j++){
x1n=x1n*x1;
} //经过多次迭代，x1n的值逼近方程的根t
}
return x1;
}
接下来只要再写一个double pow1(double x, double y)函数，对x和y对取值各种if，然后用两个for循环分别处理y的整数部分和小数部分，其余的工作交给我们之前写的func1
下面是代码
double pow1(double x, double y){
int positive = 1; //用来储存y的正负
double answer=1; //即结果
if(x>0&&y>0){
positive=1;
}
else if(x!=0&&y==0){
return 1;
}
else if(x>0&&y<0){
y=-y;
positive=0;
}
else if(x==0&&y>0){
return 0;
}
else if(x==0&&y<=0){
return 1/0;
}
else if(x<0&&(y-(int)y<0.0001||(y-(int)y>0.999))){
if(y>0){
positive=1;
}
else{
y=-y;
positive=0;
}
}
else {
return 1/0;
}
int integer=(int)y;
int i,j;
for(i=0;i<integer;i++){
answer=answer*x;
}
if((y-(int)y<0.0001||y-(int)y>0.999)&&positive==1){ //如果y为整数，跳过小数运算部分
return answer;
}
if((y-(int)y<0.0001||y-(int)y>0.999)&&positive==0){
return 1/answer;
}
double decimal=y-(int)y;
for(i=1;i<=ACCURACY;i++){ //ACCURACY表示计算精度
decimal=decimal*10;
for(j=0;j<(int)decimal;j++){
answer=answer*func1(x, i);
}
decimal=decimal-(int)decimal;
}
if(positive==1){
return answer;
}
else {
return 1/answer;
}
}
把这三个函数拼起来就完工了！
这里还有一个小细节是
x<0&&(y-(int)y<0.0001||(y-(int)y>0.999))
这是因为double型存储形式与int有本质上的区别（ieee754）
比如说1这个double，在内存中以二进制形式存储，转化为十进制可能是1.000000001也可能是0.99999999
而强制类型转换是只保留double型小数点前的部分，不是四舍五入
因此很可能(int)1的结果是0
所以我们要用(y-(int)y<0.0001||(y-(int)y>0.999)让两种可能都通过
下面让我们计算以下正版的5.21的4.11次幂
printf("%lf",pow1(5.21,4.11));
快看控制台！
883.492894Program ended with exit code: 0
和手机算出来的数据基本吻合，增大ACCURACY的值还会提高精度
（我还看到有的博主计算y为整数的情形时用了分治的方法，我懒得写了）
2.幂级数展开实现pow
为了避免歧义，这次pow接受的参数改为a,b
即double pow2(double a ,double b)
我采用麦克劳林展开的方法，用下面的公式
在pow(a,b)中，令t=a-1，设f(t)=(t+1)b
就可以得到
f(t)=(t+1)b=1+bt+b(b-1)t2/2+…+b(b-1)(b-2)…(b-n+1)tn/n!+…
这就把小数次幂的问题转化成了计算整数次幂和计算阶乘
然而，还存在一个问题，那就是当|t|>1时幂级数是发散的，随着我们设置的ACCURACY的增大，计算结果反而更加不精确
可以这样，当a>2时，对a取倒数，对应的t=a-1就满足|t|<=1了
然而，直觉告诉我这事不靠谱
其实我们可以对a不停的除2，直到0<a<2为止，再把相应的指数乘到b上，这样算精度应该会高一些
最后就是针对a,b的一些极端情况用if else缝缝补补
直接上代码！
#include <stdio.h>
#define ACCURACY 100
double func1(double t,int n);
double func2(double b,int n);
double pow2(double a,double b);
int main() {
printf("%lf",pow2(5.21,4.11));
return 0;
}
double pow2(double a,double b){
if(a==0&&b>0){
return 0;
}
else if(a==0&&b<=0){
return 1/0;
}
else if(a<0&&!(b-(int)b<0.0001||(b-(int)b>0.999))){
return 1/0;
}
if(a<=2&&a>=0){
double t=a-1;
double answer=1;
for(int i=1;i<ACCURACY;i++){
answer=answer+func1(t,i)*func2(b,i);
}
return answer;
}
else if(a>2){
int time=0;
while(a>2){
a=a/2;
time++;
}
return pow2(a,b)*pow2(2,b*time);
}
else{
if((int)b%2==0){
return pow2(-a,b);
}
else {
return -pow2(-a,b);
}
}
}
double func1(double t,int n){
double answer=1;
for(int i=0;i<n;i++){
answer=answer*t;
}
return answer;
}
double func2(double b,int n){
double answer=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
answer=answer*(b-i+1)/i;
}
return answer;
}
最后再试一下5.21的4.11次幂
printf("%lf",pow2(5.21,4.11));
见证奇迹的时刻
883.492857Program ended with exit code: 0
嗷嗷，终于完成了，这个的精确度更高，原因是ACCURACY取了100