[Ignatius and the Princess III] 整数的无序拆分(DP + 生成函数)

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整数的有序拆分就是隔板法，无序拆分则有两种处理方法

DP递推

• 我们假设 $P(n,m)$是正整数 $n$无序拆分为 $m$个正整数的方案数

• 对于某一种拆分，不妨将拆分出来的 $m$个数从小到大排序，分类讨论

  • 最小的数等于 $1$，那么去掉这个 $1$，相当于把剩下的 $n-1$拆分成 $m-1$个数，方案数就为 $P(n-1,m-1)$
  • 最下的数大于 $1$，那么将所有的数减去 $1$，相当于把剩下的 $n-m$拆分成 $m$个数，方案数就为 $P(n-m,m)$

• 则最终答案为 $\large\sum_{i=1}^nP(n,i)$，时间复杂度为 $\large \Theta(n^2)$

• AC code

  #include <bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  int P[121][121];
  int main ()
  {
     for(int i = 1; i <= 120; ++i)
     {
     	P[i][1] = P[i][i] = 1;
     	for(int j = 2; j < i; ++j)
     		P[i][j] = P[i-1][j-1] + P[i-j][j];
     }
     for(int i = 1; i <= 120; ++i)
     	for(int j = 1; j <= i; ++j) //做前缀和
     		P[i][j] += P[i][j-1];
     int n;
     while(~scanf("%d", &n)) printf("%d\n", P[n][n]);
  }
  

生成函数/卷积

• 想一想，显然可得答案为
  $\large (1+x^1+x^2+...)\\*(1+x^2+x^4+...)\\*(1+x^3+x^6+...)\\*...$所得多项式中次数为 $n$的系数
• 因为是多项式的乘积，就是在每个多项式中选 $1$项，最后再加起来。在第 $i$个多项式中， $1$表示数 $i$不选， $x^{ki}$表示选了 $k$个 $i$
• 这实际上就是把加法运算，转化为多项式的次数来做乘法/卷积。思想类似于(分治)FFT等
• 时间复杂度为 $\large \Theta(n^3)$

• AC code

  #include <cstdio>
  #include <cstring>
  #include <cmath>
  #include <algorithm>
  using namespace std;
  const int MAXN = 121;
  int n, ans[MAXN], tmp[MAXN];
  int main ()
  {
  	while(~scanf("%d", &n))
  	{
  		for(int i = 0; i <= n; ++i)
  			ans[i] = 1, tmp[i] = 0;
  		for(int i = 2; i <= n; ++i)
  		{
  			for(int j = 0; j <= n; j+=i)
  				for(int k = 0; k + j <= n; ++k)
  					tmp[j+k] += ans[k];
  			for(int j = 0; j <= n; ++j)
  				ans[j] = tmp[j], tmp[j] = 0;
  		}
  		printf("%d\n", ans[n]);
  	}
  }