2.3 高斯变量

高斯分布

多元高斯分布(D维)

本文旨在证明：和为多元高斯分布的均值和方差

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二次型

矩阵可以取对称矩阵，因为任何非对称项都会在指数中消失

因此二次型可以写为

关于

二次型和和原坐标的对应关系

椭圆曲线表示二维空间

的高斯分布的常数概率密度的椭圆面，表示的概率密度为

，值在

处计算。椭圆的轴由协方差矩阵的特征向量

定义，特征值（缩放因子）为

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从坐标系到坐标系，有jacobian矩阵

正交，因此

又行列式可以写成特征值乘积，故坐标系下，高斯分布形式为

以上公式是D个独立一元高斯分布的乘积，特征向量定义了一个新的旋转、平移的坐标系，这个坐标系下联合概率分布可以分解成独立分布的乘积

坐标系下的概率分布的积分为

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以上是证明和为高斯分布的均值和方差的前备条件，接下来进行证明

1. 证
   对连续概率密度函数求期望(积分)
   
   令
   
   由于积分区域是(-\infty,\infty),根据对称性可得(z+\mu)中的z项为零，因此:
   
   也就是证明了文章一开始的D维均值向量就是多元高斯分布的均值(应该是这样??)

2. 证
   求高斯分布的二阶矩(PS：二阶(非中心)矩是对变量的平方求期望，一阶矩就是对变量求期望)
   一元变量下，二阶矩由给出；对于多元高斯分布，有个由给出的二阶矩，也就是矩阵
   
   令
   
   由于对称性和项互相抵消，为常数，因此我们先计算项
   
   定义协方差
   
   由于高斯分布，结合，得到
   
   也就是文首的的协方差矩阵