【图论·动态规划·习题】最短路

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Problem

题目描述

给定一个n个点m条边的有向图，有k个标记点，要求从规定的起点按任意顺序经过所有标记点到达规定的终点，问最短的距离是多少。

输入格式

第一行5个整数n、m、k、s、t，表示点个数、边条数、标记点个数、起点编号、终点编号。

接下来m行每行3个整数x、y、z，表示有一条从x到y的长为z的有向边。

接下来k行每行一个整数表示标记点编号。

输出格式

输出一个整数，表示最短距离，若没有方案可行输出-1。

题解

设经过的第i个标记点的编号为 $ned_{i}$,则所经过的路径是 $s→ned_{1}→ned_{2} →...→ned_{k}→t$.

我们所求的就是上面这一条路径的长度最小。

观察数据范围，我们发现k很小，那个我们可以对每一个 $ned_{i}$跑一边最短路，再对起点跑一边最短路。

现在每两个 $ned$和起点之间的最短路径搞好了，需要考虑顺序了；我们可以用状压DP解决。

设 $f[i][j]$表示经过的点数状态为 $i$，以 $j$结尾的路径最小值。

此时有状态转移方程： $f[i][j]=min(f[i\ and\ not(1<<j-1)][p]+len[p][ned[j]])$

至于初始化，暴力搞一遍每一个 $ned$到起点的具体即可。

最后的结果为： $ans=min(f[(1<<k)-1][i]+len[i][t]),1≤i≤k$

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,ans=0;
int s[60000];
int in[60000];
queue<int>q;
vector<int>a[60000]; 
int main(void)
{
	freopen("triangle.in","r",stdin);
	freopen("triangle.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",s+i);
	scanf("%d",&m);
	for (int i=1,x,y,z;i<=m;++i)
	{
		scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
		if (z==1 || z==2) a[x].push_back(y),in[y]++;
		if (z==4 || z==5) a[y].push_back(x),in[x]++;
	}
	for (int i=1;i<=n;++i) 
	    if (!in[i]) q.push(i);
	while (q.size())
	{
		int now=q.front();
		q.pop();
		for (int i=0;i<a[now].size();++i)
		{
			int next=a[now][i];
			in[next]--;
			if (!in[next]) q.push(next);
			if (!s[now]) s[next]^=1;
		}
		if (!s[now]) ans++;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}