炮台实验（期望，贡献值）

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蒜头君在玩一个战争模拟游戏，他有高度为 1,2,3,\ldots ,n1,2,3,…,n 的炮台各一个，他需要把这 nn 个炮台从左往右排成一行，并且炮口都朝向右边。

在这个游戏中，所有炮台发射的炮弹会摧毁前方所有高度比自己低的炮台。每当蒜头君把 nn 个炮台排成一行后，可能会有一些炮台被摧毁。举个例子：当前有 55 个炮台，从左到右高度分别为 2,1,3,5,42,1,3,5,4，往右发射炮弹后，高度为 44 的炮台被高度为 55 的摧毁，高度为 11 的炮台被高度为 22的炮台摧毁，最后只会剩下 2,3,52,3,5 这三个炮台。

现在蒜头君想知道，如果随机地摆放这 nn 个炮台，最后剩下炮台个数的期望是多少？比如 n=2n=2 时，有两种摆放方式，高度序列分别为 1,21,2 和 2,12,1，前者最后剩下 22 个炮台，后者最后剩下一个炮台，因此期望为 {(2+1)\over 2}=1.50002(2+1)​=1.5000。

请你求出 n=2019n=2019 时剩下炮台个数的期望，保留四位小数。

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题目来源

2019 蓝桥杯省赛 A 组模拟赛（一）

题目解答：

一开始我是用排列组合直接去打表，但因为是浮点数，没有像整数那样直接找出来，又因为数的全排列，复杂度也较大，要跑好久，最后没有成功。

关于这道题，我们可以找到最高的炮台，而后第二高的炮台只能在最高炮台的左边或者右边，在右边的话就会被摧毁，所以对题目的贡献是1/2。而第三高的炮台可以在两个比他高的炮台的中间或者在两边，所以对题目的贡献的1/3。以此类推答案为1+1/2+1/3+…+1/n.
这样就可以得出解。

打表：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <map>
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=100005;

int main()
{
    int n;
    int a[maxn],b[maxn];
    double pre;
    for(int i=2;i<=8;i++)
    {
        n=i;
        for(int u=0;u<n;u++)
        {
            a[u]=u+1;
            b[u]=u+1;
        }
        int cnt;
        double ans=0;
        int z[maxn];
        int cnz=0;
        LL book[maxn];
        memset(book,0,sizeof(maxn));
        do
        {
                cnt=0;
                for(int v=0;v<n;v++)
                {
                    a[v]=b[v];
                }
                for(int v=0;v<n-1;v++)
                {
                    if(a[v]>a[v+1])
                    {
                        cnt++;
                        swap(a[v],a[v+1]);
                    }
                }
                //cout << n-cnt << ' ';
                z[cnz++]=n-cnt;
                book[n-cnt]++;
                ans+=n-cnt;
        }while(next_permutation(b,b+n));
        sort(z,z+cnz);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            cout << book[i]<< ' ';
        cout << endl;
        ans/=n;
        if(i==2)
            pre=ans;
        else
        {
            //cout << ans/pre << endl;
            pre=ans;
        }
    }
    return 0;
}

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <map>
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int main()
{
    double ans=0;
    for(int i=1;i<=2019;i++)
    {
        ans+=1.0/i;
    }
    printf("%.4lf\n",ans);
    return 0;
}