【POJ 1733】Parity game【带权并查集维护奇偶】

题意：

一个长度为 $N$ 的由 $0$ 和 $1$ 组成的序列 $S$。 $M$ 个询问，返回 $[l,r]$ 中 $1$ 的个数是奇数还是偶数。输出一个最小的 $k$，使得存在一个 $01$ 序列满足第 $1~k-1$ 个回答，但不存在满足第 $1~k$ 个回答的 $01$ 序列。
$(N\leq 10^9,M\leq 10000)$

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思路：

$N$ 比较大，但是询问比较少，因此需要将所有数字离散化。

然后我们需要处理区间 $[l,r]$ 的 $1$ 的个数是偶数还是奇数。因此我们来定义一下 $x\rightarrow root$， $d[x]$ 表示 $sum[root]-sum[x]$ 的值为奇数还是偶数，即 $[x+1,root]$ 中 $1$ 的个数为奇数还是偶数。如果维护的是 $[x,root]$ 的信息，那么 $d[x]$ 初始值就不确定了，因此维护的是 $[x+1,root]$， $d[x]$ 初始为 $0$ 。

所以 $x\rightarrow root$ 为 $0$，表示 $[x+1,root]$ 中 $1$ 的个数为偶数。如果为 $1$，则表示 $1$ 的个数为奇数。在合并时维护一个模 $2$ 剩余系。

比如 $[x,y]$ 中 $1$ 的个数为偶数，则 $(x-1)\rightarrow y$ 为 $0$， $fa[fx] = fy，d[fx] = (x\rightarrow y)-(x\rightarrow fx)-(fy\rightarrow y)=(0-d[x]+d[y]+2)\ mod\ 2$。

查询 $[x,y]$ 中 $1$ 个数奇偶，直接 $(d[x]-d[y]+2)\ mod \ 2$，为 $0$ 则为偶，否则为奇。

至此即可完成本题。

ps：本题也可以维护并查集路径上节点的异或和， $0$ 表示为偶， $1$ 表示为奇。

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代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define LOG1(x1,x2) cout << x1 << ": " << x2 << endl;
#define LOG2(x1,x2,y1,y2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << endl;
typedef long long ll;
typedef double db;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;
const int N = 2*1e4+100;

int n,m,fa[N],d[N],a[N],tot;
struct Query{
	int x,y,op;
}q[N];

int find(int x){
	if(x == fa[x]) return x;
	int root = find(fa[x]);
	d[x] = (d[x]+d[fa[x]]+2)%2;
	return fa[x] = root;
}

int search_for(int x){
	return lower_bound(a+1,a+1+tot,x)-a;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m); tot = 0;
	rep(i,1,m){
		scanf("%d%d",&q[i].x,&q[i].y);
		char oop[10]; scanf("%s",oop);
		if(oop[0] == 'e') q[i].op = 1;	//偶数
		else q[i].op = 0; //奇数
		a[++tot] = q[i].x-1, a[++tot] = q[i].y;
	}
	sort(a+1,a+1+tot);
	tot = unique(a+1,a+1+tot)-a-1;
	rep(i,0,tot) fa[i] = i, d[i] = 0;
	int ans = m;
	rep(i,1,m){
		int xx = search_for(q[i].x-1), yy = search_for(q[i].y), cc = q[i].op;
		int fx = find(xx), fy = find(yy);
		if(cc){	//偶数
			if(fx != fy){
				fa[fx] = fy;
				d[fx] = (d[yy]-d[xx]+2)%2;
			}
			else{
				int jud = (d[xx]-d[yy]+2)%2;
				if(jud == 1){
					ans = i-1;
					break;
				}
			}
		}
		else { 	//奇数
			if(fx != fy){
				fa[fx] = fy;
				d[fx] = (d[yy]-d[xx]+2+1)%2;
			}
			else{
				int jud = (d[xx]-d[yy]+2)%2;
				if(jud == 0){
					ans = i-1;
					break;
				}
			}
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}