【分治FFT+多项式求逆】LGP4705 玩游戏

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【题目】
LG
给定两个序列 $a,b$，定义 $k$次价值为分别随机从 $a,b$中取出一个数 $a_x,b_x$， $(a_x+b_x)^k$的期望。
对于所有 $k\in[1,t]$，求序列的 $k$次价值。
$|a|,|b|,k\leq 10^5$

【解题思路】
化柿子吧，这个形式显然就是二项式展开一下吧。
$\begin{aligned} ans_k \cdot nm=& \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(a_i+b_j)^k\\ =& \sum_{x=0}^k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m{x\choose k}a_i^xb_j^{k-x}\\ =& k!\times \sum_{x=0}^k(\sum_{i=1}^n\frac {a_i^x}{x!})(\sum_{j=1}^m\frac {b_j^{k-x}} {(k-x)!}) \end{aligned}$
右边是一个卷积，那么我们只需要对于每个 $k$，求出一个数列每个数字的 $k$次方和。

这其实是一个比较经典的问题，写出关于 $k$的生成函数，则显然为：
$\sum_{i=1}^n\frac 1 {1-a_ix}$
这个问题有一个比较好看的做法：
我们现在不妨求一下
$\sum_{i=1}^n\frac {a_i} {1-a_ix}$
实际上这个东西求出来 $0$次项系数显然就是原来柿子的 $1$次项系数。
对它每个部分上下除以 $a_i$，然后通分，令 $r_i=\frac 1 {a_i}$可以得到：
$\frac {\sum_{i=1}^n\prod _{j\neq i} (r_j-x)}{\prod_{i=1}^n (r_i-x)}$
你会发现这个函数的分子是分母的导数。
然后分治 $\text{FFT}+$多项式求逆，就可以得到整个东西了。只不过这个做法无法得到 $0$次项系数，不过这不重要，全部加一次就可以了。
复杂度 $O(n\log ^2n)$

更直观的理解？令上面我们要求的和为 $f_(x)$
可以发现 $\ln'(1-a_ix)=\frac {-a_i} {1-a_ix}$，
则令 $g(x)=\sum_{i=1}^n\ln' (1-a_ix)=(\ln(\prod_{i=1}^n(1-a_ix)))'$，有 $f(x)=-x\times g(x)+n$
那么 $g$可以分治 $\text{FFT}$，就求完了。

对了其实原来那个柿子直接分治 $\text{FFT}$也可以做的，不过常数巨大而已。

我写了我提到的两种，其中一个注释掉了。
【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=262333,mod=998244353,G=3;

namespace IO
{
	int read()
	{
		int ret=0;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)) c=getchar();
		while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();
		return ret;
	}
	void write(int x){if(x>9)write(x/10);putchar(x%10^48);}
	void writeln(int x){write(x);putchar('\n');}
}
using namespace IO;

namespace Math
{
	int fac[N],ifac[N],inv[N];
	int upm(int x){return x>=mod?x-mod:(x<0?x+mod:x);}
	void up(int &x,int y){x=upm(x+y);}
	int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
	int qpow(int x,int y){int res=1;for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);return res;}
	int getinv(int x){return qpow(x,mod-2);}
	void initmath()
	{
		fac[0]=1;for(int i=1;i<N;++i)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
		ifac[N-1]=getinv(fac[N-1]);for(int i=N-2;~i;--i)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
		inv[1]=1;for(int i=2;i<N;++i)inv[i]=mod-mul(mod/i,inv[mod%i]);
	}
}
using namespace Math;

namespace Poly
{
	int m,L,rev[N];
	void ntt(int *a,int n,int f)
	{
		for(int i=0;i<n;++i) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
		for(int i=1;i<n;i<<=1)
		{
			int wn=qpow(G,(mod-1)/(i<<1));
			if(!~f) wn=getinv(wn);
			for(int j=0;j<n;j+=i<<1)
			{
				int w=1;
				for(int k=0;k<i;++k,w=mul(w,wn))
				{
					int x=a[j+k],y=mul(w,a[i+j+k]);
					a[j+k]=upm(x+y);a[i+j+k]=upm(x-y);
				}
			}
		}
		if(!~f) for(int i=0,iv=getinv(n);i<n;++i) a[i]=mul(a[i],iv);
	}
	void reget(int n)
	{
		for(m=1,L=0;m<=n;m<<=1,++L);
		for(int i=0;i<m;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
	}
	void polymul(int *a,int *b,int *c)
	{
		static int A[N],B[N];
		copy(a,a+m,A);copy(b,b+m,B);
		ntt(A,m,1);ntt(B,m,1);
		for(int i=0;i<m;++i) c[i]=mul(A[i],B[i]);
		ntt(c,m,-1);
		fill(A,A+m,0);fill(B,B+m,0);
	}
	void polymult(int *a,int *b,int *c,int dega,int degb)
	{
		static int A[N];
		reget(dega+degb);polymul(a,b,A);
		for(int i=0;i<m;++i) c[i]=A[i];
		fill(A,A+m,0);
	}
	void polyder(int *a,int deg)
	{
		for(int i=0;i<deg-1;++i) a[i]=mul(a[i+1],i+1);
		a[deg-1]=0; 
	}
	void polyint(int *a,int deg)
	{
		for(int i=deg-1;i;--i) a[i]=mul(a[i-1],inv[i]);
		a[0]=0;
	}
	void polyinv(int *a,int *b,int deg)
	{
		if(deg==1){b[0]=getinv(a[0]);return;}
		polyinv(a,b,(deg+1)>>1);
		static int A[N],B[N];
		reget(deg*2);copy(a,a+deg,A);copy(b,b+deg,B);fill(A+deg,A+m,0);fill(B+deg,B+m,0);
		ntt(A,m,1);ntt(B,m,1);
		for(int i=0;i<m;++i) A[i]=mul(A[i],mul(B[i],B[i]));
		ntt(A,m,-1);
		for(int i=0;i<deg;++i) b[i]=upm(mul(2,b[i])-A[i]);
		fill(A,A+m,0);fill(B,B+m,0);
	}
	void polyln(int *a,int *b,int deg)
	{
		static int A[N],B[N];
		polyinv(a,A,deg);copy(a,a+deg,B);polyder(B,deg);
		reget(deg*2);polymul(A,B,A);
		for(int i=0;i<deg;++i) b[i]=A[i];
		polyint(b,deg);
		fill(A,A+m,0);fill(B,B+m,0);
	}
}
using namespace Poly;

namespace DreamLolita
{
	int n,m,T;
	int f[25][N],coe[N],A[N],B[N],C[N],a[N],b[N];
	/*void solve(int l,int r,int dep)
	{
		if(l==r){f[dep][0]=1;f[dep][1]=mod-coe[l];return;}
		int mid=(l+r)>>1;
		solve(l,mid,dep);solve(mid+1,r,dep+1);
		polymult(f[dep],f[dep+1],f[dep],r-l+2,0);
		fill(f[dep+1],f[dep+1]+Poly::m,0);//wrong because write m
	}
	void GETK(int *a,int *b,int n)
	{
		memset(f,0,sizeof(f));memset(coe,0,sizeof(coe));
		for(int i=1;i<=n;++i) coe[i]=a[i];
		solve(1,n,0);
		polyln(f[0],b,T+1);
		polyder(b,T+1);
		for(int i=T;i;--i) b[i]=mod-b[i-1];b[0]=n;
		for(int i=0;i<=T;++i) b[i]=mul(b[i],ifac[i]);
	}*/
	void solve(int l,int r,int dep)
	{
		if(l==r){f[dep][0]=coe[l];f[dep][1]=mod-1;return;}
		int mid=(l+r)>>1;
		solve(l,mid,dep);solve(mid+1,r,dep+1);
		polymult(f[dep],f[dep+1],f[dep],r-l+2,0);
		fill(f[dep+1],f[dep+1]+Poly::m,0);
	}
	int Q[N],R[N],P[N];
	void GETK(int *a,int *b,int n)
	{
		memset(f,0,sizeof(f));memset(coe,0,sizeof(coe));
		memset(P,0,sizeof(P));memset(Q,0,sizeof(Q));memset(R,0,sizeof(R));
		for(int i=1;i<=n;++i) coe[i]=getinv(a[i]);
		solve(1,n,0);
		for(int i=0;i<=n;++i) Q[i]=f[0][i];
		if(T+1<=n) fill(Q+T+1,Q+n+1,0);//wrong because no fill
		polyinv(Q,R,T+1);polyder(Q,T+1);
		polymult(Q,R,P,T+1,T+1);
		for(int i=T;i;--i) b[i]=upm(-P[i-1]); b[0]=n;
		for(int i=0;i<=T;++i) b[i]=mul(b[i],ifac[i]);
 	}
	void solution()
	{
		initmath();
		n=read();m=read();
		for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
		for(int i=1;i<=m;++i) b[i]=read();
		T=read();
		GETK(a,A,n);GETK(b,B,m);
		polymult(A,B,C,T,T);
		for(int i=1,iv=mul(inv[n],inv[m]);i<=T;++i) writeln(mul(iv,mul(fac[i],C[i])));
	}
}

int main()
{
#ifdef Durant_Lee
	freopen("LGP4705.in","r",stdin);
	freopen("LGP4705.out","w",stdout);
#endif
	DreamLolita::solution();
	return 0;
}