无线通信基础（一）：高斯随机变量

1、实高斯随机标量

  对于标准正态分布的随机变量 $w\sim {\mathcal N}(0,1)$，其PDF为
$p(w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{w^2}{2}),\ w\in {\mathcal R}.$
  对于一般的正态分布随机变量 $x=\sigma w+\mu$，有 $x\sim {\mathcal N}(\mu,\sigma^2)$，其PDF为
$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}),\ x\in {\mathcal R}.$

Q函数的一种上下界
$\frac{1}{\sqrt{2\pi} a}(1-\frac{1}{a^2}) e^{-a^2/2}<Q(a)<e^{-a^2/2},\quad a>1.$

高斯随机变量的线性组合仍然满足高斯分布，即
$\Sigma^{n}_{i=1}c_ix_i\sim {\mathcal N}\left(\Sigma^{n}_{i=1}c_i\mu_i,\Sigma^{n}_{i=1}c_i^2\sigma_i^2 \right).$

2、实高斯随机向量

  对于标准正态分布的随机向量 ${\bf w}=[w_1,w_2,\ldots,w_n]^{\rm T}$，其PDF为
$p({\bf w})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi })^n}\exp(-\frac{||{\bf w}||^2}{2}),\ w\in {\mathcal R^n},$
其中 $||{\bf w}||:=\sqrt{w_1^2+w_2^2+\ldots+w_n^2}$为从原点到 $\bf w$的距离。显然，概率密度函数只与向量的幅度有关。

  如果 $\bf w$为标准正态分布，则 $\bf Ow$也为标准正态分布。其中 $\bf O$为正交变换。这是因为正交变换不改变向量的幅度。这意味着 $\bf w$在任何正交基上都满足相同的分布。

  $n$个i.i.d.的零均值高斯分布的随机变量的和的平方满足卡方分布，即 $||{\bf w}||^2\sim \chi^2_n$。如果 $n=2$，且 $a=w_1^2+w_2^2$，则
$f(a)=\frac{1}{2}\exp (-\frac{a}{2}),\quad a\ge 0,$
即满足指数分布。

 对于高斯分布的随机向量 ${\bf x=Aw+\bm{\mu}}$，其性质说明如下：

• $\bf c^{\rm T}\bf x\sim {\mathcal N}(\bf c^{\rm T}\bm \mu,\bf c^{\rm T}\bf A A^{\rm T} c)$
• $p({\bf x})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^n\sqrt{\det({\bf A A}^{\rm T})}}\exp[-\frac{1}{2}(\bf x- \bm \mu)^{\rm T}{(\bf A A^{\rm T})^{-1}}(\bf x- \bm \mu)],\quad x\in{\mathcal R}^n$
  这里
  ${\bf K}:={\rm E}[(\bf x- \bm \mu)(\bf x- \bm \mu)^{\rm T}]={\bf A A^{\rm T}}$
  为 $\bf x$的协方差矩阵。
  如果 $\bf A$为可逆的，则 $\bf x$完全由其均值向量 $\rm \mu$及其协方差阵 ${\bf K}=\bf AA^{\rm T}$来刻画。

3、复高斯随机向量

 对于复高斯随机向量 ${\bf x}={\bf x}_R+j{\bf x}_I$，有
${\bm \mu}:={\rm E}[\bf x]$
${\bm K}:={\rm E}[(\bf x-\bm \mu)(\bf x-\bm \mu)^{\rm H}]$
${\bm J}:={\rm E}[(\bf x-\bm \mu)(\bf x-\bm \mu)^{\rm T}]$
分别为 $\bf x$的均值向量、协方差以及伪协方差矩阵。

注意通常来说， $\bf K$不足以刻画 $\bf x$的所有二阶特性。事实上，由于 $\bf K$为厄米特矩阵，即 $\bf K=K^{\rm H}$，其对角线元素为实数，且上下三角阵的元素互为复共轭。因此包含 $n^2$个实参数。另一方面， $\bf x$的完全二阶特性应该用 $2n\times 2n$维 $[{\bf x}_R,{\bf x}_I]^{\rm T}$的协方差矩阵中的 $n(2n+1)$个实参数来刻画。

【循环对称性】我们称 $\bf x$为循环对称的，如果对于任意的 $\theta$都有 ${\bf x}e^{j\theta}$与 $\bf x$同分布。

对于循环对称复随机向量 $\bf x$，有
${\rm E}[\bf x]={\rm E}[\bf e^{j\theta}x]=e^{j\theta}{\rm E}[\bf x]$
对任意的 $\theta$均成立，因此 ${\bm \mu}={\rm E}[\bf x]=0$。进一步，
${\rm E}[{\bf xx}^{\rm T}]={\rm E}[ e^{j2\theta}{\bf xx}^{\rm T}]=e^{j2\theta}{\rm E}[{\bf xx}^{\rm T}]$
对任意的 $\theta$均成立，因此 ${\bf J}={\bf 0}$。此时，协方差阵 $\bf K$可以完全刻画循环对称复随机向量 $\bf x$的一阶以及二阶特性。事实上，如果 $\bf x$为高斯分布的，则其协方差阵可以完全刻画其统计特性，此时 ${\bf x}\sim {\mathcal CN}(0,\bf K)$。
几个特例如下：

（1）对于复高斯随机变量 $w=w_R+jw_I$，如果 $w_R$以及 $w_I$为i.i.d.的零均值高斯随机变量，则 $w$为循环对称，其统计特性可以用方差 $\sigma^2:={\rm E}[|w|^2]$来刻画。（需要注意的是，一个非循环对称的高斯随机变量需要用五个实参数来刻画，即实部和虚部的均值以及方差，还有实部虚部的相关值。）这里 $||\bf w||^2$满足指数分布， $||\bf w||$满足瑞利分布， $\bf w$的相位在 $[0,2\pi]$上均匀分布。
（2） $n$个i.i.d.满足 ${\mathcal CN}(o0,1)$分布的随机变量组成标准循环对称高斯随机向量 $\bf w\sim {\mathcal CN}(\bf 0,I)$，其PDF为
$p({\bf w)}=\frac{1}{\pi^n}\exp(-||w||^2),\quad \bf\in \mathcal{C}^n.$
若 $\bf U$为酉矩阵，则 $\bf Uw$与 $\bf w$同分布。