无线通信基础（二）：高斯噪声中的检测

1. 标量检测

  考虑在实AWGN信道中，
$y=u+w$其中 $u$为发送符号，等概率地取 $u_{\rm A}$和 $u_{\rm B}$( $u_{\rm A}>u_{\rm B}\in {\mathcal R})$， $w\sim \mathcal {N} (0,N_0/2)$为实高斯噪声。
  根据最大后验概率准则，如果
${\mathcal P}\{u=u_{\rm A}|y\}>{\mathcal P}\{u=u_{\rm B}|y\}$则认为发送的是 $u_{\rm A}$。由于0、1等概，因此最大后验概率准则等同于最大似然（ML）准则，即
$\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}\exp(-\frac{(y-u_{\rm A})^2}{N_0})>\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}\exp(-\frac{(y-u_{\rm B})^2}{N_0}).$
进一步简化，有
$|y-u_{\rm A}|<|y-u_{\rm B}|.$因此，错误概率为
${\rm P_e}=Q(\frac{|u_{\rm A}-u_{\rm B}|}{2\sqrt{N_0/2}}).$显然，错误概率只与 $u_{\rm A}$和 $u_{\rm B}$之间的距离有关。

2. 向量空间中的检测

  现在考虑需要检测的是向量 $\bf u$，它等概率地取 ${\bf u}_A$和 ${\bf u}_{\rm B}$（ ${\bf u}_{\rm A},\ {\bf u}_{\rm B}\in {\mathbb R}^n$）。此时接收向量为
$\bf y=u+w,$这里 ${\bf w}\sim \mathcal{N}(0,\frac{N_0}{2}\bf{I})$。类似地，根据ML准则，如果
$\frac{1}{(\pi N_0)^{n/2}}\exp(-\frac{||{\bf y}-{\bf u}_{\rm A}||^2}{N_0})<\frac{1}{(\pi N_0)^{n/2}}\exp(-\frac{||{\bf y}-{\bf u}_{\rm B}||^2}{N_0})$则选择 ${\bf u}_{\rm A}$，即
$||{\bf y}-{\bf u}_{\rm A}||<||{\bf y}-{\bf u}_{\rm B}||.$因此，错误概率为
${\rm P_e}=Q(\frac{||{\bf u}_{\rm A}-{\bf u}_{\rm B}||}{2\sqrt{N_0/2}}).$

3. 复向量空间中的检测

  接收复向量为
${\bf y}={\bf u}+{\bf w},$其中 $\bf u$等概率取 ${\bf u}_{\rm A}$以及 ${\bf u}_{\rm B}$（ ${\bf u}_{\rm A},\ {\bf u}_{\rm A}\in \mathbb{C}^n$）， ${\bf w}\sim \mathcal{CN}(0,N_0{\bf I})$。我们将其变换为实向量来进行处理。设
${\bf u}=x({\bf u}_{\rm A}-{\bf u}_{\rm B})+\frac{1}{2}({\bf u}_{\rm A}+{\bf u}_{\rm B}),$显然，如果 $x=\frac{1}{2}$，则 ${\bf u}={\bf u}_{\rm A}$；若 $x=-\frac{1}{2}$，则 ${\bf u}={\bf u}_{\rm B}$。因此我们的检测任务就变成了检测实标量 $x$。
  下面我们定义向量
${\bf v}:=\frac{{\bf u}_{\rm A}-{\bf u}_{\rm B}}{||{\bf u}_{\rm A}-{\bf u}_{\rm B}||},$显然， $\bf v$为沿着 ${\bf u}_{\rm A}-{\bf u}_{\rm B}$方向长度为1的向量。进一步，我们将向量 ${\bf y}'=\bf y-\frac{1}{2}({\bf u}_{\rm A}+{\bf u}_{\rm B})$映射到 $\bf v$上，有
$\tilde{y}=<{\bf y}',{\bf v}>=<{\bf v},{\bf y}'>={\bf v}^{\rm H}{\bf y}'.$
由于
${\bf y}'={\bf y}-\frac{1}{2}({\bf u}_{\rm A}+{\bf u}_{\rm B})=x({\bf u}_{\rm A}-{\bf u}_{\rm B})+{\bf w},$因此
$\tilde{y}=x||{\bf u}_{\rm A}-{\bf u}_{\rm B}||+w,$其中 $w\sim \mathcal{CN}(0,N_0)$。由于 $x$为实数( $x=\pm \frac{1}{2}$)，故可以取 $\tilde y$的实部进行检测，即
$\mathcal{R}[\tilde y]=x||{\bf u}_{\rm A}-{\bf u}_{\rm B}||+\mathcal{R}[w]，$其中 $\mathcal{R}[w]\sim \mathcal{N}(0,\frac{N_0}{2})$。因此误码率为
${\rm P_e}=Q(\frac{||{\bf u}_{\rm A}-{\bf u}_{\rm B}||}{2\sqrt{N_0/2}}).$

  如果接收复向量为
${\bf y}={\bf h}x+{\bf w}$其中 $\bf h$为确定向量， ${\bf w}\sim \mathcal{CN}(0,N_0{\bf I})$。我们可以定义沿着 $\bf h$方向长度为1的向量
${\bf v}:=\frac{\bf h}{||\bf h||},$并将 $\bf y$映射到 $\bf v$上去，可以得到
${\tilde y}={\bf v}^{\rm H}{\bf y}={||\bf h||}x+w,$其中 $w\sim \mathcal{CN}(0,N_0)$。如果 $x$在实数轴上，则有
$\mathcal{R}[\tilde y]=||{\bf h}||x+\mathcal{R}[w]，$这里 $\mathcal{R}[w]\sim \mathcal{N}(0,\frac{N_0}{2})$。
  对于双极性情况，如果 $x=\pm a$，则有错误概率为
${\rm P_e}=Q(\frac{a||{\bf h}||}{\sqrt{N_0/2}}).$