前言
十字相乘法；分组分解法，多项式除法；
常用方法
- 十字相乘法，使用最为广泛。实际高三数学教学和考试中的解不等式常常是这样的，熟练掌握对你的数学学习会有帮助的。
①\(x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0\)，即\((x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0\)；
②\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，即\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；
③\(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0\)；即\([x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0\)；
④\(x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，即\((x-a)(x-a^2)\leq 0\)；
⑤\(x^2-(a+1)x+a\leq 0\)，即\((x-1)(x-a)\leq 0\)；
⑥\(x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0\)；即\((x-1)[x-(a+1)]\leq 0\)；
⑦\(\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)\)；即\((x-2a)[x-(a^2+1)]<0\)，解集为\((2a，a^2+1)\)；
⑧\(x^2+(m+4)x+m+3<0\)，即\((x+1)[x+(m+3)]<0\)；
⑨\(x^2-(a+\cfrac{1}{a})x+1<0\)，即\((x-a)(x-\cfrac{1}{a})<0\)；
⑩\(f'(x)=x+(a-e)-\cfrac{ae}{x}=\cfrac{x^2+(a-e)x-ae}{x}=\cfrac{(x+a)(x-e)}{x}\)；
⑾\(x^2-2ax+a^2-4=x^2-2ax+(a+2)(a-2)=[x-(a-2)][x-(a+2)]\leq0\)，即\(a-2\leq x\leq a+2\) ；
- 分组分解法，也能使用于高次式的分解，难点是不容易发现分组的思路。
比如\(3x^3-7x^2+4=0\)，可以分解为\(3x^3-3x^3-4x^3+4=3x^2(x-1)-4(x^2-1)=(x-1)(3x^2-4x-4)=(x-1)(x-2)(3x+2)\)；
那么，上式的分解中怎么会想到将\(-7x^2\)分解为\(-3x^2-4x^2\)的呢？
- 试商法
对于上式\(3x^3-7x^2+4=0\)，先尝试令\(x=0\)，不满足方程，说明三次三项式\(3x^3-7x^2+4\)中不能分解出因式\(x\)；
再尝试令\(x=1\)，发现方程成立，说明三次三项式\(3x^3-7x^2+4\)中应该能分解出因式\(x-1\)，这样另外一个因式的最高次必然会降低为\(2\)次；
如果还不行再尝试\(x=-1\)，依次类推，\(x=0\)，\(x=\pm 1\)，\(x=\pm 2\)，等等如此；
那么用试商法得到其中一个因式后，如何得到剩余的因式呢，这可以用多项式除法来解释说明。
- 多项式除法，多用于三次式或高次式的分解
分析：先用试商法，令\(x_0=0\)，如果上述方程成立，说明方程能分解出因子\(x_0\)，本题目中显然不成立；
再令\(x_0=1\),上述方程不成立，说明方程不能分解出因子\(x_0-1\)；再令\(x_0=-1\),上述方程成立，
说明方程能分解出因子\(x_0+1\)；这样\(x_0^3-3x_0^2+4=(x_0+1)(x_0^2+bx_0+c)(b，c是常数，待定)\)，这样做的目的是为了降次；
以下用多项式除法探求另一个因式，多项式除法如下图所示；
看完这个除法，你可能会有这样的想法：其一，多项式的除法和数字的除法本质做法是一样的；其二，这个做法还是比较麻烦；
能不能改进一下呢，回答是肯定的。
- 组合使用法
我们可以用试商法先确定一个因式，从而能确定分组分解的方向，即试商法和分组分解法组合使用。 接上例说明如下：
如\(x_0^3-3x_0^2+4=(x_0^3+1)-3(x_0^2-1)\)
\(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1)-3(x_0+1)(x_0-1)\)
\(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1-3x_0+3)\)
\(=(x_0+1)(x_0-2)^2=0\)；