数据结构之时间复杂度

大O表示法：算法的时间复杂度通常用大O符号表述，定义为T[n] = O(f(n))。称函数T(n)以f(n)为界或者称T(n)受限于f(n)。 如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)。T(n)称为这一算法的“时间复杂度”。当输入量n逐渐加大时，时间复杂度的极限情形称为算法的“渐近时间复杂度”。

迭代程序

• 题目：

int i=1;
while(i<=n) {
    i=i*2;
}

• 思路：
  假设循环执行了k次，那么\(2^k\)≤n，则k≤logn，所以时间复杂度为T(n)=O(logn)

递归程序

主方法

• 分治法主定理：T[n] = aT[n/b] + f(n)，其中n为问题规模，a≥1 and b>1 是常量，并且f(n)是一个渐进正函数，也就是递归以外的计算时间，为了使用这个主定理，需要考虑下列三种情况：
  • 如果f(n)=O(\(n^{log_ba-ε}\))（即 f(n)的指数小于\({log_ba}\)），对于某个常量ε>0成立（即 f(n)为\(n^{log_ba}\)的低阶无穷大），那么T(n)=O(\(n^{log_ba}\))（即 时间复杂度取决于高阶无穷大
    ）

  • 如果f(n)=O(\(n^{log_ba}\))（即 f(n)的指数等于\({log_ba}\)）（即 f(n)为\(n^{log_ba}\)的同阶无穷大），那么T(n)=O(\(n^{log_ba}logn\))

  • 如果f(n)=O(\(n^{log_ba+ε}\))（即 f(n)的指数大于\({log_ba}\)），对于某个常量ε>0成立，并且af(n/b)≤cf(n)，对于某个常量c<1(n足够大)成立（即 f(n)为\(n^{log_ba}\)的高阶无穷大），那么T(n)=O(f(n))

• 题目：
  T(n)=3T(n/2)+n^2
• 思路：
  1. 试试能不能使用主方法，a=3,b=2,f(n)=n^2满足条件
  2. 看看满足哪一种情况，由于\(log_23\)<2，且\(3n^2/4 < cn^2\)(c<1)，满足第三种情况，所以T(n)=O(n^2)

迭代法

• 题目：

//汉诺塔问题，假定move()的时间复杂度为O(1)
void hanoi(int n, char x, char y, char z) {
    if(n == 1) {
        move(x, 1, z);
    }else {
        hanoi(n-1, x, z, y);
        move(x, n, z);
        hanoi(n-1, y, x, z);
    }
}

• 思路：
  1. 首先写出表达式：T(n) = 2T(n-1)+O(1) （即 你的问题规模分解成了2个n-1的问题规模加上执行了一次基本操作move()
  2. 试试能不能使用主方法，发现a=2,b=1,f(n)=O(1),不满足b>1的条件，不能使用
  3. 采用迭代法，因为每次迭代n的数据规模减少1，到最后必然会有终点，即n==1。
     

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     T(n)=2T(n-1)+1
     T(n-1)=2T(n-2)+1
     联立，得
     T(n)=4T(n-2)+1+2
     由数学归纳法，得
     T(n)=2^(n-1)T(1)+1+2+4+8+...+2^(n-2)
     又∵终止条件T(1)=1
     ∴时间复杂度为O(2^n)
     

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