我研究不等式的时候发现了几何-算术平均不等式的新证明, 于是记录下来. #证明 引理 $1$ :有一个凸多边形, 将其放置在一个直角坐标系内. 我们设该多边形的顶点为 \(a_i(x_i, y_i)\) , \(x_i\)、\(y_i\) 分别为 \(a_i\) 的横坐标和纵坐标, \(A\) 为这些点的集合即 \(A = \{a_1, a_2, a_3, \cdots a_{n}\}\) , \(n\) 为 \(A\) 集合元素数量. 我们称改多边形为点集 \(A\) 所形成的凸多边形. 那么有 \(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i, \bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}y_i\) \(\bar{a} = (\bar{x}, \bar{y})\) \(\bar{a}\) 恒在该凸多边形内, 此结论对于任意凸多边形以及直角坐标系的任意位置都成立. 我们称 \(\bar{a}\) 为该点集中心. 引理的正确性在下面会给出. 有了 引理 $1$ , 我们可以轻松证明几何-算术平均不等式. 几何-算术平均不等式: \(\frac{k_1 + k_2 + k_3 + \cdots + k_n}{n}\geqslant \sqrt[n]{k_1k_2k_3\cdots k_n}\tag{1}\) 两边取对数有
\begin A = {a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n}, a_i = (k_i, ln(k_i)). \end$$ 根据 引理 $1$ 我们将不等式 \((2)\) 等价为 \(ln(\bar{x})\geq\bar{y}\tag{3}\) 由于集合 \(A\) 所形成的凸多边形在整个 \(ln(x)\) 函数曲线下方, 所以如果 引理 $1$ 成立, 那么不等式 \((3)\) 显然成立, 因此几何-算术平均不等式成立.
引理 $1$ 的证明:
引理 $2$ :有两数集 \(A=\{a_1, a_2, a_3, \cdots,a_n\}\) , 那么有 $$B={a_1, a_2,\dots, (a_i + a_j - \bar), \dots, a_n}\big((j\not=i)\wedge (a_i, a_j\notin B )\big)$$$$mean(B) = \bar$$ 其中 \(mean(X)\) 为数集 \(X\) 所有元素的算术平均. 可以看到, 这里我们进行了一个合并操作, 将 \(a_i\) 和 \(a_j\) 合并了, 并且合并后算术平均依然相等.
证明: 设未知数 \(x\), 有 \(\frac{a_1+a_2+\cdots+\frac{a_i+a_j}{x}+\cdots+a_n}{2}=\frac{a_1+a_2+a_3\cdots+a_n}{2}\tag{4}\) 解得 \(x=\frac{a_i+a_j}{(a_i+a_j)-\bar{a}}\), 带入 \((4)\) 得 \(\frac{a_1+a_2+\cdots+(a_i+a_j-\bar{a})+\cdots+a_n}{2}=\frac{a_1+a_2+a_3\cdots+a_n}{2}\) 引理 $2$ 得证.
利用 引理 $2$ 可以将我们的点集 \(A\) 中的点进行合并. 接下来的证明就比较容易了, 我有空再补充.