\(\fbox{例1}\)均值不等式中有一类常考题型，比如，求限定条件下的最值问题，对应的解决方法是：常数代换,乘常数再除常数。
【模型1】：已知\(2m+3n=2，m>0，n>0\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。(给定条件是整式，求分式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式)
分析如下：\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}=\cfrac{1}{2}\cdot (2m+3n）(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n})=\cfrac{1}{2}\cdot (8+3+\cfrac{2m}{n}+\cfrac{12n}{m})=\cdots\)
【模型2】：已知\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}=2，m>0，n>0\)，求 \(2m+3n\)的最小值。(给定条件是分式，求整式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式)
【对照1】：已知\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1，a>0，b>0\)，求 \(\cfrac{2}{a-1}+\cfrac{1}{b-2}\)的最小值。(给定条件是分式，求分式的最值，变量集中，再使用均值不等式)
【对照2】：已知\(2a+b=1，a>0，b>0\)，求 \(a^2+2b^2\)的最小值。(给定条件是整式，求整式的最值，变量集中，用函数求解最值)
改变限定条件的给出方式：
【变式1】限定条件以简单变形形式给出，
如已知\(m>0，n>0，m+\cfrac{3}{2}n=1\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。
又或已知\(m>0，n>0，\cfrac{1}{n}+\cfrac{3n}{2m}=\cfrac{1}{mn}\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。
【变式2】限定条件以直线的形式给出，
如已知点\(P(m，n)\)在直线\(2x+3y=2，x>0，y>0\)上，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。
【变式3】已知直线\(ax+by-6=0(a，b>0)\)过圆\(x^2+y^2-2x-4y=0\)的圆心(或直线平分此圆或圆上存在两个点关于直线对称)，求\(\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值。
【变式4】限定条件以线性规划形式给出，
如已知\(x，y\)满足约束条件\(\begin{cases} &x+y\ge 3 \\ &x-y\ge -1 \\ &2x-y\leq 3 \end{cases}\) ，若目标函数\(z=ax+by（a＞0，b＞0）\)的最大值为10，则\(\cfrac{5}{a}+\cfrac{4}{b}\)的最小值为多少？
【变式5】限定条件以极限或定积分的形式给出
如已知\(\lim\limits_{x\to 1^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}\cfrac{x}{x^2+3x+1}=m+n\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。
如已知\(\int_{0}^{2} x\, dx=m+n，m>0，n>0\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。
【变式6】限定条件以二项式形式给出，如
已知\((2x+1)^9\)展开式中，含\(x^3\)项的系数为\(m+n，m>0，n>0\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。
【变式7】限定条件以数列形式给出，如
已知正项等比数列\(\{a_n\}\)满足：\(a_7=a_6+2a_5\)，若存在两项\(a_m，a_n\)，使得\(a_ma_n=16a_1^2\)，求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。
【变式8】以三点共线的向量形式给出(如宝鸡市三检)，
设向量\(\overrightarrow{OA}=(1，-2)\)，\(\overrightarrow{OB}=(a，-1)\)，\(\overrightarrow{OC}=(-b，0)\)，其中\(O\)为坐标原点，\(a，b>0\)，若\(A,B,C\)三点共线，则\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}\)的最小值为多少？
分析：由三点共线的向量表达方式可知，\(2a+b=1\)，转化为最初的例子。
【变式9】以向量的垂直或平行形式给出
已知向量\(\vec{a}=(m，1)\)，\(\vec{b}=(1，n-1)\)，若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。
分析：有条件\(\vec{a}\perp\vec{b}\)可知\(m+n=1\)，即\(\cfrac{1}{m}+\cfrac{4}{n}=(\cfrac{1}{m}+\cfrac{4}{n})(m+n)=5+\cfrac{4n}{m}+\cfrac{m}{n}=...\)
【变式10】以对数方程的形式给出；
已知\(x>0\),\(y>0\)，\(lg2^x+lg8^y=lg2\)，求\(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{3y}\)的最小值。
分析：由已知条件可知，\(x+3y=1\)，求\(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{3y}\)
【变式11】以概率的形式给出；
比如一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为\(a\)，得2分的概率为\(b\)，不得分的概率为\(c\)（\(a,b,c\in (0,1)\)）,已知他投篮一次得分的均值为2，求\(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{3b}\)的最小值。
分析：由题目可知投篮一次得分的均值\(EX=3a+2b=2(a>0,b>0)\)，求\(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{3b}\)的最小值。
【变式12】以解三角形和三角形的面积形式给出；
比如已知点M是\(\Delta ABC\)内的一点，且\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}\)，\(\angle BAC=\cfrac{\pi}{6}\)，若\(\Delta MBC,\Delta MCA,\Delta MAB\)的面积分别为\(\cfrac{1}{2},x,y\)，求\(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y}\)的最小值。
分析：由\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}\)，\(\angle BAC=\cfrac{\pi}{6}\)，故有\(|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|cos\cfrac{\pi}{6}=2\sqrt{3}\)，得到\(bc=4\)，所以\(S_{\Delta ABC}=\cfrac{1}{2}bcsin\cfrac{\pi}{6}=1\),又\(\Delta MBC,\Delta MCA,\Delta MAB\)的面积分别为\(\cfrac{1}{2},x,y\)，故有\(\cfrac{1}{2}+x+y=1\)，即\(x+y=\cfrac{1}{2}\),
【变式13】以隐含条件的形式给出
比如函数\(f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}，0<x<2\)，求函数\(f(x)\)的最小值。
提示：\(f(x)=\cfrac{1}{2}\cdot (\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x})[x+(2-x)]=\cfrac{1}{2}\cdot (1+4+\cfrac{2-x}{x}+\cfrac{4x}{2-x})\ge \cfrac{1}{2}(5+2\sqrt{4})=\cfrac{9}{2}\)，当且仅当\(\cfrac{2-x}{x}=\cfrac{4x}{2-x}\)，即\(x=\cfrac{2}{3}\)时取到等号。
【变式14】以曲线的对称中心的形式给出
(2017广东揭阳联考)若直线\(2ax+by-1=0(a>0，b>0)\)经过曲线\(y=cos\pi x+1(0<x<1)\)的对称中心，则\(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值为_____.
分析：做出简图可知，曲线\(y=cos\pi x+1(0<x<1)\)的对称中心为\((\cfrac{1}{2}，1)\)，代入直线得到条件\(a+b=1\)，
此时题目转化为，已知\(a+b=1(a>0，b>0)\)，求\(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值的题目，很显然，应用乘常数除常数的思路解决即可。
提示：\((\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{b})_{min}=3+2\sqrt{2}\).
【变式15】利用点线距的形式给出(2017浙江嘉兴一中模拟)
已知直线\(\sqrt{2}ax+by=1\)(其中\(ab\neq0\))与圆\(x^2+y^2=1\)相交于\(A、B\)两点，\(O\)为坐标原点，且\(\angle AOB=120^{\circ}\)，则\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{2}{b^2}\)的最小值为_____________.
分析：自行做出示意图，结合题目条件，我们可以知道圆心到直线的点线距为\(d=\cfrac{1}{2}\)，
即\(d=\cfrac{1}{2}=\cfrac{|\sqrt{2}a\times 0+b\times0-1|}{\sqrt{2a^2+b^2}}\)，即\(2a^2+b^2=4\)，
到此题目转化为已知\(2a^2+b^2=4\)，求\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{2}{b^2}\)的最小值问题。
利用乘常数除常数的方法解决即可。
【变式16】利用换元法转化
(2017\(\cdot\)陕西西安质检)
已知实数\(x，y\)满足\(x>y>0\)，且\(x+y=\cfrac{1}{2}\) ，则\(\cfrac{2}{x+3y}+\cfrac{1}{x-y}\)的最小值是_________.
分析：换元法，令\(x+3y=s>0\)，\(x-y=t>0\)，
求解上述以\(x，y\)为元的方程组，得到\(x=\cfrac{s+3t}{4}\)；\(y=\cfrac{s-t}{4}\)；
由\(x+y=\cfrac{1}{2}\)，将上述结果代入得到\(s+t=1\)，
故此时题目转化为"已知\(s+t=1\)，\(s，t>0\)，求\(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t}\)的最小值”问题。
接下来，利用乘常数除常数的思路就可以求解。
简单提示如下：\(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t}=(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t})(s+t)=3+\)\(\cfrac{2t}{s}+\cfrac{s}{t}\ge 3+2\sqrt{2}\)(当且仅当\(\cfrac{2t}{s}=\cfrac{s}{t}\)及\(s+t=1\)时取到等号)
看完这些内容，你难道不觉得我们得好好的改造我们的学习方法吗，比如说留意限定条件的给出方式；
\(\fbox{例1}\) (2017榆林模拟)已知正数\(x,y\)满足\(x+2y-xy=0\)，求\(x+2y\)的最小值。
分析：需要将已知条件变形为分式形式，只有这样才能出现乘积为常数，
由\(x+2y-xy=0\)得到\(\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y}=1\)，
则\(x+2y=(x+2y)\cdot 1=(x+2y)(\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y})\\=2+2+\cfrac{x}{y}+\cfrac{4y}{x}\ge 4+2\sqrt{4}=8\)
当且仅当\(\begin{cases}\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y}=1\\\cfrac{x}{y}=\cfrac{4y}{x}\end{cases}\)，即\(x=4，y=2\)时取等号，故\(x+2y\)的最小值为8.
\(\fbox{例2}\)不等式证明
已知\(a>0,b>0,a+b=1\)，
求证：(1).\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{ab}\ge 8\)
(2).\((1+\cfrac{1}{a})(1+\cfrac{1}{b})\ge 9\)
分析：(1).\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{ab}=2(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b})=2(\cfrac{a+b}{a}+\cfrac{a+b}{b})=\\2(2+\cfrac{a}{b}+\cfrac{b}{a})\ge 2(2+2\sqrt{1})=8\),
当且仅当\(\begin{cases}a+b=1\\a=b\end{cases}\)时，即\(a=b=\cfrac{1}{2}\)时取等号。
法2：\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{ab}=\cfrac{2}{ab}\)
由\(1=a+b\ge 2\sqrt{ab}\)得到\(0<\sqrt{ab}\leq \cfrac{1}{2}\)
故\(0<ab\leq \cfrac{1}{4}\)，故\(\cfrac{1}{ab}\ge 4\)，故\(\cfrac{2}{ab}\ge 8\)，当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2} $时取到等号。
(2).\((1+\cfrac{1}{a})(1+\cfrac{1}{b})=(1+\cfrac{a+b}{a})(1+\cfrac{a+b}{b})\\(2+\cfrac{b}{a})(2+\cfrac{a}{b})=5+2(\cfrac{b}{a}+\cfrac{a}{b})\ge 5+2\cdot2=9=\)
\(\fbox{例3}\)已知\(a，b\in R^{+}，a+b-ab+3=0\)，1、求\(ab\)的范围；2、求\(a+b\)的范围；
1、求\(ab\)的范围；
解：\(\because -3+ab=a+b\ge 2\sqrt{ab}\)
\(\therefore ab-2\sqrt{ab}-3\ge 0\)，
\((\sqrt{ab}+1)(\sqrt{ab}-3) \ge 0\)
$\sqrt{ab}\leq -1 或 \sqrt{ab}\ge 3 $
又\(a，b\in R^{+}\)，故 \(\sqrt{ab}\ge 3 (当且仅当a=b=3取到等号)\)
故\(ab\ge 9\)
2、求\(a+b\)的范围；
解：\(\because a+b+3=ab \leq (\cfrac{a+b}{2})^2，令t=a+b\)
\(t^2-4t-12 \ge 0\)，
$t \leq -2 或 t \ge 6 $
故 \(a+b \ge 6 (当且仅当a=b=3取到等号)\)
【评析】代数式中同时有\(a+b\)和\(ab\)型，两元\(a+b，ab\)常常转化集中为一元\(a+b\)或\(ab\)，这样就好处理多了。
【同类题】设\(m，n\in R\)，则直线\((m+1)x+(n+1)y-2=0\)与圆\((x-1)^2+(y-1)^2=1\)相切，且\(m+n\)的取值范围是_________。
分析：由圆心\((1 ,1)\)到直线的距离等于半径可得，
\(\cfrac{(m+1)\cdot 1+(n+1)\cdot 1-2}{\sqrt{(m+1)^2+(n+1)^2}}=1\) ，
变形得到\(mn=m+n+1\)，此时即转化为上述例3的类型了。
由\(mn\leq (\cfrac{m+n}{2})^2\)，则\(m+n+1\leq (\cfrac{m+n}{2})^2\)，
求解上述以\(m+n\)为整体的不等式，得到\(m+n\leq 2-2\sqrt{2}\)或者\(m+n\ge 2+2\sqrt{2}\)；
\(\fbox{例4}\)已知实数\(a，b，c\)满足\(a+b+c=9，ab+bc+ac=24\)，则\(b\)的取值范围是[1,5]。
解：由于\(ab+bc+ac=(a+c)b+ac=24\)
故\(ac=24-(a+c)b \leq (\cfrac{a+c}{2})^2\)
故\(24-(a+c)b \leq (\cfrac{a+c}{2})^2\)，(三元变成了两个元\(a+c，b\))
又因为\(a+c=9-b\)，
即\(24-(9-b)b \leq \cfrac{(9-b)^2}{4}\),(两元\(a+c，b\)变成了一元\(b\))
即\(b^2-6b+5 \leq 0\)
解得\(1\leq b \leq 5\)
\(\fbox{例5}\)【2016.江西两市联考】已知\(x，y\in R^+\)，且\(x+y+\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}=5\)，则\(x+y\)的取值范围是多少？
分析：先将已知表达式变形为\(x+y+\cfrac{4}{x+y}=5\)，接下来的变形的方向就是想法替换掉\(xy\)，为此，
由\(xy\leq \cfrac{(x+y)^2}{4}\)，得到\(\cfrac{1}{xy}\ge \cfrac{4}{(x+y)^2}\)，得到\(\cfrac{x+y}{xy}\ge \cfrac{4}{x+y}\)，代入上述等式，得到
\(x+y+\cfrac{4}{x+y}\leq 5\)，得到\((x+y)^2-5(x+y)+4\leq 0\)，解得\(1\leq x+y \leq 4\)。
\(\fbox{例6}\)(2017\(\cdot\)天津卷)
已知\(a，b\in R，ab>0\)，求\(\cfrac{a^4+4b^4+1}{ab}\)的最小值。
分析：考虑到题目中\(ab>0\)，则一般不能把\(a，b\)单独拆开使用，应该看成一个整体变量，
这样\(\cfrac{a^4+4b^4+1}{ab}\ge \cfrac{4a^2b^2+1}{ab}=4ab+\cfrac{1}{ab}\ge 4\)，
当且仅当\(a^4=4b^4\)和\(4ab=\cfrac{1}{ab}\)，
即\(a^4=\cfrac{1}{2}\)，\(b^4=\cfrac{1}{8}\)，\(ab=\cfrac{1}{2}\)时取到等号。
【例7】已知\(x>1\)，求\(f(x)=x+\cfrac{1}{x-1}\)的最小值。
【引例1】已知\(a>1，b>0， a+b=4\)，求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b}\)的最小值。(\(a+b=4\Longrightarrow (a-1)+b=3\))
【引例2】已知\(a>1，b>2， a+b=4\)，求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b-2}\)的最小值。(\(a+b=4\Longrightarrow (a-1)+(b-2)=1\))
【引例3】已知\(a>0，b>0， \cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=1\)，求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{9}{b-1}\)的最小值。(\(b=\cfrac{a}{a-1}代入，变成关于a的一元，变量集中\))
【引例4】函数\(f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{1-x}\)，则\(f(x)=(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{1-x})[x+(1-x)]=...\)，注意隐含条件的发掘和利用。
\(\fbox{例8}\)(2017凤翔中学高三理科第二次月考第16题)
设\(x，y\)满足约束条件\(\begin{cases}2x-y+2\ge 0\\8x-y-4\leq 0\\x\ge 0，y\ge 0\end{cases}，\)若目标函数\(z=ax+by(a>0，b>0)\)的最大值为4，则\(\cfrac{a+2b}{ab}\)的最小值为多少？
分析：如图所示，要保证目标函数\(z=ax+by(a>0，b>0)\)的最大值为4，则直线必须经过点\((1，4)\)，即\(a+4b=4\)，所求条件\(\cfrac{a+2b}{ab}\)变形为\(\cfrac{1}{b}+\cfrac{2}{a}\)，此时题目变成已知条件\(a+4b=4(a>0，b>0)\)，求\(\cfrac{1}{b}+\cfrac{2}{a}\)的最小值，只需要仿照模型完成即可。
提示：\(\cfrac{a+2b}{ab}=\cfrac{1}{b}+\cfrac{2}{a}=\cfrac{1}{4}\times (\cfrac{1}{b}+\cfrac{2}{a})\times 4=\cfrac{1}{4}\times (\cfrac{1}{b}+\cfrac{2}{a})\times(a+4b)=\cfrac{1}{4}\times (+6+\cfrac{a}{b}+\cfrac{8b}{a})\ge\cfrac{6}{4}+\cfrac{1}{4}\times2\sqrt{8}=\cfrac{3}{2}+\sqrt{2}\)；当且仅当\(a+4b=4\)且\(a^2=8b^2\)取到等号。
\(\fbox{例9}\)(2017天津一中月考)
设\(a+b=2，b>0\)，则\(\cfrac{1}{2|a|}+\cfrac{|a|}{b}\)的最小值为__________.
分析：由题可知，\(\cfrac{a+b}{2}=1\)，则常数代换得到
\(\cfrac{1}{2|a|}+\cfrac{|a|}{b}=\cfrac{a+b}{4|a|}+\cfrac{|a|}{b}=\cfrac{a}{4|a|}+\cfrac{b}{4|a|}+\cfrac{|a|}{b}\)
\(\ge \cfrac{a}{4|a|}+2\sqrt{\cfrac{b}{4|a|}\cdot \cfrac{|a|}{b}}= \cfrac{a}{4|a|}+1\)(当且仅当\(b^2=4a^2\)时等号成立)，
接下来分类讨论得到
当\(a>0\)时，\(\cfrac{1}{2|a|}+\cfrac{|a|}{b}\ge \cfrac{a}{4a}+1=\cfrac{5}{4}\);
当\(a<0\)时，\(\cfrac{1}{2|a|}+\cfrac{|a|}{b}\ge \cfrac{a}{-4a}+1=\cfrac{3}{4}\);
综上所述，\(\cfrac{1}{2|a|}+\cfrac{|a|}{b}\)的最小值为\(\cfrac{3}{4}\);
解后反思：常数代换，部分使用均值不等式，分类讨论；
\(\fbox{例10}\)(2017\(\cdot\)陕西西安质检)
已知实数\(x，y\)满足\(x>y>0\)，且\(x+y=\cfrac{1}{2}\) ，则\(\cfrac{2}{x+3y}+\cfrac{1}{x-y}\)的最小值是_________.
分析：换元法，令\(x+3y=s>0\)，\(x-y=t>0\)，
求解上述以\(x，y\)为元的方程组，得到\(x=\cfrac{s+3t}{4}\)；\(y=\cfrac{s-t}{4}\)；
由\(x+y=\cfrac{1}{2}\)，将上述结果代入得到\(s+t=1\)，
故此时题目转化为"已知\(s+t=1\)，\(s，t>0\)，求\(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t}\)的最小值”问题。
接下来，利用乘常数除常数的思路就可以求解。
简单提示如下：\(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t}=(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t})(s+t)=3+\)\(\cfrac{2t}{s}+\cfrac{s}{t}\)\(=\cdots\)
\(\fbox{例11}\)(2017\(\cdot\)江西南昌十所省级重点中学模拟)
若正数\(a，b\)满足\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1\)，求 \(\cfrac{2}{a-1}+\cfrac{1}{b-2}\)的最小值_________。
分析：由\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1\)，变形得到\(a=\cfrac{b}{b-2}\)，变量集中。
又由于\(a>0，b>0\)，即\(a=\cfrac{b}{b-2}>0\)，即\(b>2\)，
则\(\cfrac{2}{a-1}+\cfrac{1}{b-2}=\cfrac{2}{\frac{b}{b-2}-1}+\cfrac{1}{b-2}=(b-2)+\cfrac{1}{b-2}\ge 2\)
当且仅当\(\cfrac{1}{b-2}=b-2\)，即\(a=b=3\)时，取得等号。