首先通常的Nim游戏的定义是这样的：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。
我们知道对于最普通最一般的NIM取石子来说，所有石子个数异或起来如果为0，那么先手必败，如果不为0那么先手必胜。
具体证明如下：
1、最后的游戏状态必然是所有石子个数为0，也可以看成所有石子异或为0。
2、假如现在所有石子异或起来为J，我们用Ai表示第i堆石子个数，总共n堆。那么就有A1 ^ A2 ^ A3…… ^ An=j，我们把j二进制表示，则A中必有一个数最高位与j的最高位同为1（位数一样），不然j的那个1是哪来的？然后我们令这个数是Am，所以Am ^ j必然小于Am，显然最高位被消掉变小了。我们可以取石子把Am变成Am ^ j，那么对于原式就是A1^ A2^ ……^ An^ j=j^j=0；
3、如果异或起来为0，那么如果任意拿掉石子，新的异或一定不为0，这个证明十分简单，留给读者解决。（偷懒~）
所以当异或不为0的时候，都可以通过操作让它变成0，所以显然就有了上面那个结论。
那么现在我们上重头。
对于一个大的游戏，我们把它看成是多个小的游戏，比如这个取石子，我们把它看成是n个小的游戏。
现在我们单独考虑一个游戏，也就是一堆石子如何解决。
我们规定一个对于集合的操作mex，表示最小的不属于该集合的非负整数。
举几个栗子：mex{0,1,2}=3，mex{1,2,3}=0，mex{0,1,3}=2；
我们再定义SG函数：SG(x)=mex{ SG(y) | y是x的后继 }。
什么叫y是x的后继？我们用普通的NIM游戏举个栗子。假如有一堆石子个数为x，普通的NIM游戏可以取任意个，但不能一个不取，所以x的后继就是0~x-1，所以y取值0 ~x-1。
有一个结论就是普通的取石子SG（x）=x。
我们考虑SG函数的性质，我们把游戏看成一个图，那么其实就是一个点在这张图上面跑，当这个点走到0的时候它就走不动了。SG值为0时，表示当前点为必败点，因为它下面的SG值都大于0。SG值大于0，当前点是必胜点，因为它可以走到一个点的SG值为0。
所以得到结论SG值为0就是必败，SG大于0就是必胜。
————————————————
原文链接：https://blog.csdn.net/Kamisama123/article/details/776491189118
三、游戏状态的组合
有些读者可能已经发现了，在第一节提出的三种游戏中，有许多状态是等价的。例如在Flip Game中，两个加号（“++”）和三个加号（“+++”）就是等价的状态，因为它们都是走一步之后就无路可走；在抢票游戏中，一个2x3的矩形和一个3x2的矩形也是等价的状态。状态的等价有许多种原因，其中一种是因为两个状态都是同样一些相互独立的子状态的组合。这里，“相互独立”的意思是指玩家的任意一步行动都只能影响一个子状态。例如，在Flip Game中，“+++±+±-”和“-+±-++++”就是等价的状态，因为它们都是“2个加号”和“4个加号”这两个子状态的组合。而Nim游戏的状态天然就是一些子状态的组合，其中每堆石子是一个子状态。如果能够通过子状态的胜负推断出它们的组合（下文称为“母状态”）的胜负，那么就可以大幅减少记忆化搜索过程中需要考虑的状态数，提高搜索效率。
在讨论由子状态胜负推断母状态胜负的方法之前，我想先指出第一节中三个游戏的另外三个共同特征。它们正是Sprague-Grundy定理成立的条件，也是下文所有讨论的前提。
满足上面两个条件的游戏称为impartial game，反之则称为partisan game。impartial game的状态中只需包含棋盘信息，partisan game的状态则还需包括“下面轮到谁”。正因为如此，partisan game的状态无法拆分成“相互独立”的子状态，因为玩家的每一步行动会影响到所有子状态中“下面轮到谁”的信息。
双方的胜利目标具体来说，是自己亲手达成终局状态，或者说走最后一步者为胜（术语称为normal play）。第一节中的三个游戏也都可以稍微修改规则，改成走最后一步者为负（术语称为misère play），但下文的讨论仅适用于normal play的情况。
下面讨论状态的组合对胜负的影响。请温习一下胜态和败态的关键性质：经过一步行动，败态只能变成胜态，胜态可以（但不一定）变成败态。
先看两个败态的组合。两个败态的组合还是败态。从后手玩家的角度来看，先手玩家的行动只能将两个败态中的一个改变为胜态，于是后手玩家可以再将这个胜态变成败态，从而将两个败态的组合抛回给先手玩家。由于终局状态为败态，最终先手玩家必将面对两个终局状态组成的败态，故后手必胜。
再看一胜一败两个状态的组合。胜态与败态的组合还是胜态——先手玩家只要把胜态变成败态，就可以把两个败态组合成的败态抛给后手玩家了。
最后看两个胜态的组合。这种组合就比较复杂了：先手玩家不应把其中一个胜态变成败态，因为这样会把一胜一败两个状态组合成的胜态留给对方。因此，先手玩家应当把其中一个胜态变成一个新的胜态。后手玩家面对新的胜态+胜态的组合，应当采取相同的策略。然而，由于游戏是有限的，早晚会有一个玩家只能把一个胜态变成败态，从而输掉游戏，但我们并不知道这会在哪一步发生。也就是说，仅仅知道两个子状态都是胜态，不足以推出母状态的胜负；我们需要挖掘胜态的更多性质。
四、Sprague-Grundy数的提出
我们以Flip Game为例，研究一下胜态还有什么更深入的性质。
状态“++”是最简单的胜态，它只有一种走法，结果是败态。状态“+++”跟“++”在这一点上是一样的，因此它们其实是等价状态。状态“++++”就有两种不同的走法（对称的走法算同一种）：一是把中间两个加号变成减号，这样得到的次态“±-+”是个败态；二是把某一端的两个加号变成减号，这样得到的次态“–++”或“+±-”（等价于“++”）是个胜态。
于是我们发现了两种不同的胜态。像“++”、“+++”这样，只能变成败态的胜态，我们称之为“一级胜态”。像“++++”这样，可以变成败态，也可以变成一级胜态的胜态，我们称之为“二级胜态”。类似地，如果一个胜态可以变成败态，也可以变成1至n-1级的所有胜态，则我们称之为“n级胜态”。而败态可以称为“零级”。
我们看一下胜态的组合是否与级数有关。两个一级胜态的组合是败态，因为先手玩家的任意一步行动都会将其中一个胜态变为败态，留给后手玩家的就是胜态与败态组合成的胜态。一个一级胜态与一个二级胜态的组合是胜态，因为先手玩家可以将二级胜态变为一级胜态，留给后手玩家的就是两个一级胜态组合成的败态。两个二级胜态组合成的胜态也是败态，因为先手玩家无论将其中一个二级胜态变成败态还是一级胜态，留给对方的组合都是胜态。
我们似乎发现了一个规律：两个同级胜态的组合是败态，两个不同级胜态的组合是胜态。没错！考察两个同级胜态的组合，无论先手玩家如何降低其中一个胜态的级数（甚至将其变成零级的败态），后手玩家总可以将另一个胜态降到同一级，最终先手玩家将面对两个败态组合成的败态。而若先手玩家面对的是两个不同级的胜态，他就总可以将其中较高级的胜态降至与较低级的胜态同级，这样留给后手玩家的就是败态。
上面对于胜态等级的定义有一个漏洞：如果一个胜态A可以变成败态或二级胜态，但不能变成一级胜态，那么它应该算一级还是三级呢？规律的证明过程同样也有一个漏洞：我们默认了一步行动只能让胜态的级数降低，那么能不能让胜态的级数升高呢？注意到规律证明过程的关键，在于如果要降低一个胜态的级数，则可以降低到任一级。于是我们就知道，上面的状态A应当定义为一级胜态。这导致胜态的级数可以升高，不过没关系，可以这样弥补规律证明的漏洞：在两个同级胜态的组合下，若先手玩家升高了其中一个胜态的级数，则后手玩家可以将它降回原级，这样两个同级胜态的组合仍是败态。
通过定义胜态的级数，我们解决了两个胜态组合而成的母状态的胜负判定问题。事实上，我们定义的“级数”，就是传说中的Sprague-Grundy数（简称SG数）。SG数是一个从状态映射到非负整数的函数，它的形式化定义如下：
★SG(x)=mex{ SG(y) | y是x的后继 }。
式中A、B代表状态，[公式]代表B是A的一个次态。mex是一个定义在集合上的函数，表示不属于集合的最小非负整数，它是minimum excludant的缩写。这个定义用通俗的语言表达，就是说一个状态的SG数，等于它的次态取不到的最小SG数。
转自https://zhuanlan.zhihu.com/p/20611132
——————————————————————————————
自我阐述
已知一般的nim游戏，对于其它的双人博弈问题大部分可以转化为nim游戏的形式。
1、一个游戏的输赢状态可以由其子状态得出。我们将多堆的问题，拆分成子问题。
对于SG值：假设一堆石头n个，在取法规则固定的情况下,取不同的n，SG值不同。SG【n】值为0代表为n个石头时先手必败，是必败点。对于其它值来说代表可胜点，必然存在策略使下一步失败或胜利。
SG(x)=mex{ SG(y) | y是x的后继 }。
借助以上图对SG的进行深入理解，1,2，3其实就是一级，二级，三级胜态，图中箭头指向的就是后继，也可以看成这一层对应的三种情况，所以图中不是在一个箭头指出的1,2,3都没有什么实在联系。图上代表的是“一堆石头”的SG值情况。如果SG值为0，它的后继状态可能是1，2,3的情况，或者说是对应级数的胜态。SG为0先手必败，因为后手必然处在胜态（对应了经过一步行动，败态只能变成胜态，胜态必然存在策略使下一步变成败态或胜态。），后手然后选择0的这种情况转化为败态给先手，先手就始终败。同理，一开始SG非0的话,先手可必胜，必然可以转为0的败态丢给后手。当一堆的SG值为0时，这一堆的胜负状态就已知了。
经过一步行动，败态只能变成胜态，胜态必然存在策略使下一步变成败态或胜态。0是败态，非0是对应级数胜态，所以我们通过mex{ }函数来通过后继状态得出现在的状态，这是一个倒推的过程。0的必败状态后继必然是大于0的级数胜态（败态只能变成胜态），2的状态后继会有是0,1的状态（胜态必然存在策略使下一步变成败态或胜态），注意也许会有3存在。但后继代表的只不过是几种情况，状态。
一个级数胜态可以变成低阶，也可能会变成高阶。但如果出现后手取高阶情况，比如这里2->3，先手可以再把3->2，对结果没有影响。而我们这里的SG状态都是根据当前石子数推出的，不可能一直2->3->2循环下去，必然最后会没法2->3，变回正常情况。
以上处理了后继状态变为高阶的情况，可以忽略。还说明了当SG为0时也可以看做这“一堆石头”已经取完，因为后手再取，你就再取成SG为0，他这不在一堆不取，先手也不对这堆石头采取行动，可以将这堆SG为0的石头堆，看成0个石子的石头堆。
此时我们可以认为SG值在处理了以上两种情况后，可以看做SG值是可以在不断变小的，从n变成0~n-1，就像是可以是nim游戏中的其中一堆石头一样，稍有不同的是SG值的石头数的变化更多的是胜负情况的变化，好在SG值在处理了以上两种情况后，可以看做不断变少的石头数，符合nim游戏的定义。
SG[n]值代表的是“一堆石头”的石子数n对应在博弈规则已定的情况下对应的胜负状态。
在理解了nim游戏正确性的情况下（比如为什么要用mex）与SG值与nim游戏如何转化的情况下，基本就没有问题了。
