例题：模型遗漏变量

如果正确设定模型下的OLS估计为：
$\hat Y=\hat \beta_0+\hat\beta_1X_1+\hat\beta_2 X_2$
错误设定模型下的OLS估计结果为
$\tilde Y=\tilde \beta_0+\tilde\beta_1X_1$
那么 $\hat\beta_1$与 $\tilde\beta_1,\tilde\beta_2$有什么关系呢？
我们记 $e_i$为正确设定模型下OLS估计的残差序列，那么必有
$\sum e_i=0,\sum e_i X_{i1}=0,\sum e_iX_{i2}=0\\ \sum e_ix_{i1}=0,\sum e_i x_{i2}=0$
同时，样本回归模型的随机式可写为如下的离差形式
$y_i=\hat\beta_1x_{i1}+\hat\beta_2x_{i2}+e_i$
于是，错误设定模型下的OLS估计的斜率项为
$\tilde\beta_1=\frac{\sum x_{i1}y_i}{\sum x_{x1}^2}=\frac{\sum x_{i1}(\hat\beta_1x_{i1}+\hat\beta_2x_{i2}+e_i)}{\sum x_{i1}^2}\\=\hat\beta_1+\hat\beta_2\frac{\sum x_{i1}x_{i2}}{\sum x_{i1}^2}$