随机化算法：快速排序与选择算法及选择算法最坏情况的剔除

快速排序

一丶普通快速排序的性能

最坏情况

得 T(n)=Θ(n²)

最好情况

得 T(n)=Θ(nlogn)
且以常数比列划分得都是Θ(nlogn)

二丶随机化快速排序的性能

为什么引入随机化

像快速排序的运行时间是根据输入序列顺序来决定的，假如我们输入的序列是正序或者逆序排好的，那么它为Θ(n²)，但是我们选择了随机化算法，将运行时间独立于输入序列顺序，受随机生成器的影响，因为即便你排好了，选择的主元是变化的，所以引入随机化算法，但仍然有可能为Θ(n²)

随机化版本我们需要算的是期望运行时间 Θ(nlogn)
最坏和最好运行时间与 不随机的一样，下面是随机化期望运行时间证明

下界证明同理

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选择算法：顺序统计量

一丶直接看随机化版本

我们考虑极端情况，每次应该找的值都在数多的一边，

最好情况

先假设划分为1/10 与 9/10
T(n)≤T(9n/10)+Θ(n)
得 T(n)=Θ(n)
常数比例的划分都为Θ(n)

最坏情况

T(n)≤T(n-1)+Θ(n) (等差求和)
得 T(n)=Θ(n²)

期望运行时间

Θ(n)，下面是证明

下界证明同理

二丶剔除最坏情况

1. 将n个元素划分为⌊n/5⌋组，每组5个元素，且至多一组少于五个元素
2. 寻找⌈n/5⌉组中的中位数，要保证上面的比中位数大，下面的比中位数小，如图 Θ(n) 因为每组是有限个元素可以在线性时间内完成
3. 然后对递归对这个⌈n/5⌉组中的中位数找出中位数x，要保证前面的比中位数大，后面的比中位数小，如图T(n/5)
4. 然后利用中位数x作为基准划分，返回位置pos，即x为第pos大的数
5. 然后如果pos=i，找到了，小于说明需要继续用select递归在小区找，大于递归在大区找

算法过程类似于下

int select(A,l,h,i)
{
	//这是最后不可划分的了数量不足5，然后排序，返回这里的中位数
	if(h-l+1<=5) 
	{ sort() return A[3]  }
	//每一组排序后自然可以找出中位数，在3号位置，因为5个一组）
	//然后为了找出中位数的中位数，把第i组中位数与i号位置交换，好递归继续找中位数
	groupnum=(h-l+1)/5
	
	for group : 1 > groupnum 
	{sort(group);swap(group,group[3])} //只有一组当然不会执行
	//递归找出中位数的中位数
	pivot=select(A,l,groupnum,i)
	
	//中位数作为基准的位置
	pos=partition(A,l,h,pivot) 
	
	if(pos==i) return A[pos]
	else if(pos>i) select(A,pos+1,h,i)
	else select(A,l,pos-1,i)
}

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