深度学习入门之反向传播算法

引言

在神经网络中，为了更有效的计算梯度，需要用到反向传播算法。我们先从链式求导法则开始。

链式求导法

先介绍下链式求导法则，在后面的反向传播算法中会用到。

有 $y = g(x),z=h(y)$

那么 $\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}$;

有 $x=g(s) ,y = h(s), z = k(x,y)$

改变了s会改变x和y，从而改变了z。

$\frac{dz}{ds} = \frac{\partial{z}}{\partial{x}}\frac{dx}{ds} + \frac{\partial{z}}{\partial{y}}\frac{dy}{ds}$

注意，如果改变s会改变多个变量，它们的关系也是成立的。

损失函数

假设给定一组参数 $\theta$,把一个训练数据 $x^n$代入NN(神经网络)中，会得到输出 $y^n$。

$C^n$是输出 $y^n$和实际 $\hat{y}^n$距离函数，值越大代表越距离远，也就是效果越不好。

那在神经网络训练算法中，损失函数定义为：

$L(\theta) = \sum^{N}_{n=1}C^n(\theta)$

如果把损失函数对参数 $w$做微分的话，得到

$\frac{\partial L(\theta)}{\partial w} = \sum^{N}_{n=1}\frac{\partial C^n(\theta)}{\partial w}$

只要计算出某一笔数据对 $w$的微分，就可以得到 $L(\theta)$对 $w$的微分。

假设我们先考虑这个神经元。

假设只有两个输入 $x_1,x_2$，计算 $z = x_1w_1 + x_2w_2 + b$得到 $z$后再代入激活函数，经过多次运算会得到最终的输出 $y_1,y_2$。

现在问题是如何计算损失(距离函数) $C$对 $w$的偏微分 $\frac{\partial C}{\partial w}$

利用链式求导法

$\frac{\partial C}{\partial w} = \frac{\partial C}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial w}$

计算 $\frac{\partial z}{\partial w}$的过程叫做正向过程(Forward pass)；计算 $\frac{\partial C}{\partial z}$的过程叫做反向过程(Backward pass)。

正向过程

$z = x_1w_1 + x_2w_2 + b$

$\frac{\partial z}{\partial w_1} = x_1 \\ \frac{\partial z}{\partial w_2} = x_2 \\$

如上图所示，假设输入是 $1,-1$，上面蓝色神经元的参数： $w_1=1,w_2=-2,b=1$，激活函数是Sigmoid函数；
下面蓝色神经元的参数： $w_1=-1,w_2=1,b=0$

对下面的神经元来说，计算 $w_2$的偏微分，可以很快得出 $\frac{\partial z}{\partial w} = -1$，也就是输入 $x_2(-1)$,随着从前往后计算每个神经元的输出，整个过程就可以很快结束，因此叫正向过程。

反向过程

困难的是如何计算 $\frac{\partial C}{\partial z}$

$a = \frac{1}{1+e^{-z}}$

假设激活函数是Sigmoid函数 $a=\sigma(z)$，然后得到的函数值 $a$会乘上某个权重(比如 $w_3$)再加上其他值得到 $z^\prime$(注意这里只是一个符号，不是 $z$的导数)； $a$也会乘上权重(比如 $w_4$)再加上其他东西得到 $z^{\prime\prime}$(注意这里只是一个符号，不是 $z$的二阶导数)；

$\frac{\partial C}{\partial z} = \frac{\partial C}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial z}$

可以这样理解， $z$通过影响 $a$来影响 $C$。

而

$\frac{\partial a}{\partial z} = \frac{\partial \sigma(z)}{\partial z} = \sigma^\prime(z)$

那就剩下

$\frac{\partial C}{\partial a} = \frac{\partial C}{\partial z^\prime}\frac{\partial z^\prime}{\partial a} + \frac{\partial C}{\partial z^{\prime\prime}}\frac{\partial z^{\prime\prime}}{\partial a}$

改变了 $a$会改变 $z^{\prime}$和 $z^{\prime\prime}$，从而改变了 $C$

我们先计算简单的

$z^{\prime} = aw_3 + \cdots$

有
$\frac{\partial z^{\prime}}{\partial a} = w_3$

同理

$\frac{\partial z^{\prime\prime}}{\partial a} = w_4$

现在难点就是 $\frac{\partial C}{\partial z^\prime}$和 $\frac{\partial C}{\partial z^{\prime\prime}}$

我们这里先假装我们知道这两项的值。然后整理下原来的式子:

$\frac{\partial C}{\partial z} = \sigma^\prime(z)[w_3\frac{\partial C}{\partial z^\prime} + w_4\frac{\partial C}{\partial z^{\prime\prime}}]$

假设有另外一个特殊的神经元，它是上图的样子，输入就是 $\frac{\partial C}{\partial z^\prime}$和 $\frac{\partial C}{\partial z^{\prime\prime}}$，它们分别乘以 $w_3$和 $w_4$，然后求和得到的结果再乘上 $\sigma^\prime(z)$
就得到了 $\frac{\partial C}{\partial z}$

$z$在正向传播的过程中已经知道了，因此这里的 $\sigma^\prime(z)$是一个常数。

说了这么多，还是没说怎么计算 $\frac{\partial C}{\partial z^\prime}$和 $\frac{\partial C}{\partial z^{\prime\prime}}$啊。别急，下面就开始计算。

这里要分两种情况考虑：

情形一： 红色的两个神经元就是输出层，它们能直接得到输出。

根据链式法则有：

$\frac{\partial C}{\partial z^\prime} = \frac{\partial y_1}{\partial z^\prime}\frac{\partial C}{\partial y_1}$

只要知道激活函数是啥就能计算出 $\frac{\partial y_1}{\partial z^\prime}$

$\frac{\partial C}{\partial y_1}$也可以根据我们选取的损失函数简单的计算出来。

同理 $\frac{\partial C}{\partial z^{\prime\prime}}$的计算也一样

情形二：红色的不是输出层

红色的是中间层，它们的激活函数的值会当成下一层的输入继续参数计算。

如果我们知道 $\frac{\partial C}{\partial z_a}$和 $\frac{\partial C}{\partial z_b}$

同理(回顾一下上面那个特殊的神经元)我们就可以计算 $\frac{\partial C}{\partial z^{\prime}}$

问题就会这样反复循环下去，我们不停的看下一层，直到遇到了输出层。然后就可以由输出层往前计算出整个NN的所有的参数。

那我们为何不换个角度考虑问题，我们直接先算输出层的偏微分，然后依次往前计算。

这就是反向传播算法的思想。