第九届蓝桥杯第四题 测试次数 （动态规划入门）

标题：测试次数

x星球的居民脾气不太好，但好在他们生气的时候唯一的异常举动是：摔手机。

各大厂商也就纷纷推出各种耐摔型手机。x星球的质监局规定了手机必须经过耐摔测试，并且评定出一个耐摔指数来，之后才允许上市流通。

x星球有很多高耸入云的高塔，刚好可以用来做耐摔测试。塔的每一层高度都是一样的，与地球上稍有不同的是，他们的第一层不是地面，而是相当于我们的2楼。

如果手机从第7层扔下去没摔坏，但第8层摔坏了，则手机耐摔指数=7。

特别地，如果手机从第1层扔下去就坏了，则耐摔指数=0。

如果到了塔的最高层第n层扔没摔坏，则耐摔指数=n

为了减少测试次数，从每个厂家抽样3部手机参加测试。

某次测试的塔高为1000层，如果我们总是采用最佳策略，在最坏的运气下最多需要测试多少次才能确定手机的耐摔指数呢？

请填写这个最多测试次数。

注意：需要填写的是一个整数，不要填写任何多余内容。

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这次可能很多人一开始没看清题目，有手机数量的限制，如果一上来就二分法的话，可能到最后手机不够用而导致无法测出n；

这题可以使用dp进行一个通解，下面我们来分析它的状态转移方程。

我们设当前有phone_num个手机，level_num层,我们使用test ( phone_num, level_num )来表示最坏情况下的最少测试次数

1. 当我们有一个手机的时候，不论有多少层，我们只能从第一层开始一层一层的摔，因为如果隔层或者不从第一层开始，他一旦摔碎了就没有手机进行下面的测试了，就无法得出结果了。

1. 当我们有phone_num(phone_num > 1)的时候，我们就可以不从第一层开始一层层的摔了，我们第一次可以摔第 i 层，这个时候我们又有两种情况，就是摔碎了和没摔碎：

   1. 第一种情况，没摔碎。那我们这种情况下，我们需要测试的楼层就减少了 i 层，手机的数量不变, 即为 1 + test ( phone_num, level_num - i ),别忘了前面加上这次摔的次数1.

   2. 第二种情况，摔碎了。那我们这种情况下，我们需要测试的楼层就是 i - 1 层，手机数列减1，即为 1 + test ( phone_num - 1, i  - 1)

这时候我们就可以总结出dp算法中最关键的一步，状态转移方程。

test ( phone_num, level_num ) = min( ( 1 + test ( phone_num, level_num - 1) ), max ( (1 + test( phone_num, level_num - i  ) ), ( 1 + test( phone_num -1, i -1 ) ) )

这样写可能不太好看，我们再简化一下这个式子：把 1 提出来。

test ( phone_num, level_num ) = min( test( phone_num, level_num -1 ), max( test(phone_num, level_num - i), test ( phone_num - 1, i -1 ) ) ) + 1 

下面我们用程序来实现这个dp算法：

#include <iostream>
using namespace std;
int dp[10005][11]={0};
int main(){
    int phone_num, level_num;
    cin>>level_num>>phone_num;
//    level_num = 1000;
//    phone_num = 3;
    for(int i = 1; i <= level_num; i++)
        dp[i][1] = i;
    for(int i = 2; i <= phone_num; i++){
        for(int j = 1; j <= level_num; j++){
            dp[j][i] = 1 + dp[j-1][i];//先赋值一个可能的最大值，即从上一层的次数 +1
            for(int k = 2;k < j ;k++){//第一次摔一层的，上面已经赋值了，所以我们从第一次摔第二层开始
                dp[j][i] = min(dp[j][i], 1 + max(dp[j - k][i],dp[k - 1][i -1]) );
            }
        }
    }
    cout<<dp[level_num][phone_num];
    return 0;
}

输入 1000 3 即可得出答案：19