- 贪心策略,也称贪婪策略
- 每一步都采取当前状态下最优的选择(局部最优解),从而希望推导出全局最优解
- 贪心应用:
- 哈夫曼树
- 最小生成树算法:Prim、Kruskal
- 最短路径算法:Dijkstra
练习1 - 最优装载问题(加勒比海盗)
在北美洲东南部,有一片神秘的海域,是海盗最活跃的加勒比海盗
有一天,海盗们截获了一艘装满各种各样古董的货船,每一件古董都价值连城,一单打碎就失去了它的价值
海盗船的载重量为W,每件古董的重量为w,海盗们该如何把尽可能多数量的古董装上海盗船?
比如W为30,w分别为3、5、4、10、7、14、2、11
- 贪心策略:每一次都优先选择重量最小的古董
- 选择重量为2的古董,剩重量28
- 选择重量为3的古董,剩重量25
- 选择重量为4的古董,剩重量21
- 选择重量为5的古董,剩重量16
- 选择重量为7的古董,剩重量9
- 最多能装载5个古董
int capacity = 30
int[] weights = {3, 5, 4, 10, 7, 14, 2, 11};
int count = 0, weight = 0;
Arrays.sort(weights);
for (int i = 0; i < weights.length && weight < capacity; i++) {
int newWeight = weight +weights[i];
if (newWeight <= capacity) {
weight = newWeight;
count++;
}
}
练习2 - 零钱兑换
假设有25分、10分、5分、1分的硬币,现要找给客户41分的零钱,如何办到硬币个数最少?
- 贪心策略:每次都优先选择面值最大的硬币
- 选择25分的硬币,剩16分
- 选择10分的硬币,剩6分
- 选择5分的硬币,剩1分
- 选择1分的硬币
- 最终的解是共4枚硬币
Integer[] faces = {25, 10, 5, 1};
Arrays.sort(faces);
int coins = 0, money = 41;
int idx = faces.length - 1;
while (idx >= 0) {
while (money >= faces[idx]) {
money -= faces[idx];
coins++;
}
idx--;
}
零钱兑换的另一个例子
假设有25分、20分、5分、1分的硬币,现要找给客户41分的零钱,如何办到硬币个数最少?
- 贪心策略:每一步都优先选择面值最大的硬币
- 选择25分的硬币,剩16分
- 选择5分的硬币,剩11分
- 选择5分的硬币,剩6分
- 选择5分的硬币,剩1分
- 选择1分的硬币
- 最终的解释1枚25分、3枚5分、1枚1分的硬币,共5枚硬币
- 实际上本体的最优解是:2枚20分、1枚1分的硬币,共3枚硬币
注意
- 贪心策略并不一定能得到全局最优解
- 因为一般没有测试所有可能的解,容易过早做决定,所以没法达到最佳解
- 贪图眼前局部的利益最大化,看不到长远未来,走一步看一步
- 优点:简单、高效、不需要穷举所有可能,通常作为其他算法的辅助算法来使用
- 缺点:鼠目寸光,不从整体上考虑其他可能,每次采取局部最优解,不会再回溯,因此很少情况会得到最优解
练习3 - 0-1背包
有n件物品和一个最大承重为W的背包,没见物品的重量是w、价值是v
在保证总重量不超过W的前提下,将哪件物品装入背包,可以使得背包的总价值最大?
注意:每个物品只有1件,也就是每个物品只能选择0件或者1件,因此称为0-1背包问题
- 如果采取贪心策略,有3个方案
- 价值主导:优先选择价值最高的物品放进背包
- 重量主导:优先选择重量最轻的物品放进背包
- 价值密度主导:优先选择价值密度最高的物品放进背包(价值密度 = 价值 / 重量)
0-1背包 - 实例
- 假设背包最大承量150,7个物品如表哥所示
- 价值主导:放入背包的物品编号是4、2、6、5,总重量130,总价值165
- 重量主导:放入背包的物品编号是6、7、2、1、5,总重量140,总价值155
- 价值密度主导:放入背包的物品编号是6、2、7、4、1,总重量150,总价值170
0-1背包 - 实现
void run(String title, Comparator<Article>comparator) {
Article[] articles = new Article[] {
new Article(35, 10), new Article(30, 40),
new Article(60, 30), new Article(50, 50),
new Article(40, 35), new Article(10, 40),
new Article(25, 30)
};
Arrays.sort(articles, comparator);
int capacity = 150, weight = 0, value = 0;
List<Article> selectedArticles = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < articles.length && weight < capacity; i++) {
int newWeight = articles[i].weight + weight;
if (newWeight <= capacity) {
selectedArticles.add(articles[i]);
weight = newWeight;
value += articles[i].value;
}
}
System.out.println("-----------" + title + "-----------");
System.out.println("总价值:" + value);
for (Article article : selectedArticles) {
System.out.println(article);
}
}
run("重量主导", (Article a1, Article a2) -> {
return a1.weight - a2.weight;
});
run("价值主导", (Article a1, Article a2) -> {
return a2.value - a1.value;
});
run("价值密度主导", (Article a1, Article a2) -> {
return Double.compare(a2.valueDensity, a1.valueDensity);
});
public class Article {
int weight;
int value;
double valueDensity;
public Article(int weight, int value) {
this.weight = weight;
this.value = value;
valueDensity = value * 1.0 / weight;
}
@Override
public String toString() {
return "[weight=" + weight +", value=" + value + "]";
}
}
----------重量主导-----------
总价值:155
[weight=10, value=40]
[weight=25, value=30]
[weight=30, value=40]
[weight=35, value=10]
[weight=40, value=35]
----------价值主导-----------
总价值:165
[weight=50, value=50]
[weight=30, value=40]
[weight=10, value=40]
[weight=40, value=35]
----------价值密度主导-----------
总价值:170
[weight=10, value=40]
[weight=30, value=40]
[weight=25, value=30]
[weight=50, value=50]
[weight=35, value=10]
练习题:
455.分发饼干:https://leetcode-cn.com/problems/assign-cookies/
452.用最少的数量的箭引爆气球:https://leetcode-cn.com/problems/minimum-number-of-arrows-to-burst-balloons/
122.买卖股票的最佳时机II:https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii/
605.种花问题:https://leetcode-cn.com/problems/can-place-flowers/
135.分发糖果:https://leetcode-cn.com/problems/candy/