线性代数复习（4）------方阵的LU分解

逆

矩阵乘法的逆

首先假设A，B为可逆矩阵。 $A^{-1}$与 $B^{-1}$为A与B的逆矩阵， $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。
即： $(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AEA^{-1}=E$（E为单位矩阵）

逆与转置

转置矩阵：将原先的矩阵进行变化 $a_{ij}=a_{ji}$所得到的矩阵，记为 $A^T$。
矩阵乘法的转置有： $(AB)^T=B^TA^T$
逆的转置： $(AA^{-1})^T=E^T=(A^{-1})^TA^T$
逆的转置等于转置的逆： $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$

LU分解

上三角矩阵U：主对角线以下都是零的方阵称为上三角矩阵。
下三角方阵L：主对角线以上都是零的方阵称为下三角矩阵。
LU分解：将原有的矩阵A写成LU相乘的形式。 $A=LU$
举个例子：
$\begin{bmatrix}2&1 \\8&7\\\end{bmatrix}$在实际转换为上三角形式中我们实际的矩阵变化就是下三角矩阵的逆矩阵。
$\begin{bmatrix}1&0\\-4&1\\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}2&1 \\8&7\\\end{bmatrix}=$ $\begin{bmatrix}2&1 \\0&3\\\end{bmatrix}$ $(L^{-1}A=U)$

转换一下有：
$\begin{bmatrix}2&1 \\8&7\\\end{bmatrix}=$ $\begin{bmatrix}1&0\\4&1\\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}2&1 \\0&3\\\end{bmatrix}$ $(A=LU)$

我们也可以从右往左来试试：
$\begin{bmatrix}2&1 \\8&7\\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1&-\frac 12\\0&1\\\end{bmatrix}=$ $\begin{bmatrix}2&0 \\8&3\\\end{bmatrix}$ $(AU^{-1}=L)$

转换一下有：
$\begin{bmatrix}2&1 \\8&7\\\end{bmatrix}=$ $\begin{bmatrix}2&0 \\8&3\\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1&\frac 12\\0&1\\\end{bmatrix}$ $(A=LU)$

把两个合并一下有：
$\begin{bmatrix}2&1 \\8&7\\\end{bmatrix}=$ $\begin{bmatrix}1&0\\4&1\\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}2&0 \\0&3\\\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1&\frac 12\\0&1\\\end{bmatrix}$ $(A=LDU)$
中间的D矩阵为对角矩阵。
简单的总结一下（ $E_{ij}$表示对i行(或列)与j行(或列)之间的变换）
$E_{21}E_{31}E_{32}A=U$ => $A=E_{32}^{-1}E_{31}^{-1}E_{21}^{-1}U$

置换矩阵

这里我们主要注意是置换矩阵在矩阵消元时所起到的行交换的作用，以保证所求的主元不为0。
即我们的LU分解时往往是这样的 $PA=LU$，其中P为若干的置换矩阵进行的行处理。
置换矩阵的个数为： $n!$（对映相依的阶数n的阶乘）（由每行列中1的排列可得）
置换矩阵的转置与逆相等（ $P^{T}=P^{-1}$）

转置矩阵

矩阵交换行列位置之后产生的矩阵为转置矩阵。
$A_{ij}=A_{ji}^T$
当转置运算之后矩阵不变时，这样的矩阵称为对称矩阵， 这里的对称指的是对于主对角线的对称。（ $A^T=A$）
矩阵于其转置矩阵的乘积为对称矩阵。
矩阵乘法的转置有： $(AB)^T=B^TA^T$
于是对于上面的证明就有： $(AA^T)^T=AA^T$（转置偶数次对应不变），所以有矩阵与其转置矩阵的乘积为对称矩阵。