2.2 事件独立性

§2 事件独立性

从本节开始，我们引入一个新的概念：统计独立性。下面，先从只有两个事件的独立性开始，随后讨论更为一般的场合。

从考虑古典概率的一个例子作为出发点：

[例] 一口袋中装有 $a$ 只黑球和 $b$ 只白球，采用有放回地摸球。求:

1. 在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率：
2. 第二次摸出黑球的概率。

[解] 以事件 $A$ 表示首次摸得黑球，事件 $B$ 表示第二次摸得黑球，则：
$P(A) = \frac{a}{a+b}$
$P(AB) = \frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}$
$P(\overline{A}B) = \frac{ba}{(a+b)^{2}}$
因此
$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{a}{a+b}$
而
$P(B) = P(AB) + P(\overline{A}B) = \frac{a^{2}}{a + b} + \frac{ba}{(a + b)^{2}} = \frac{a}{a+b}$
注意：此处的 $P(B|A) = P(B)$，即：事件 $A$ 发生与否对事件 $B$ 发生的概率没有影响。 在这种情况下，我们可以称：事件 $A$ 和事件 $B$ 的出现存在某种“独立性”。

定义2.2.1（统计独立性）

对事件 $A$ 和事件 $B$，若
$P(AB) = P(A)P(B)$
则称它们是 统计独立的，简称 独立的。

注：

1. 按照上述定义可知：必然事件 $\Omega$ 和不可能事件 $\empty$ 与任何事件独立。
2. 若 $A$ 和 $B$ 的位置对称，亦称 $A$ 和 $B$ 相互独立。

推论2.2.1

若事件 $A，B$ 独立，且 $P(B)>0$，则：
$P(A|B) = P(A)$
证明

由条件概率定义和 $P(A|B) = P(A)$ 得：
$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A)P(B)}{P(B) = P(A)}$
因此，若事件 $A，B$ 相互独立，则 $A$ 关于 $B$ 的条件概率和无条件概率 $P(A)$ 相等，这表示： $B$ 的发生对于事件 $A$ 是否发生并不提供任何信息。

推论2.2.2

若事件 $A$ 和 $B$ 独立，则下列各对事件也相互独立:
$\{ \overline{A},B\},\{A,\overline{B}\},\{\overline{A},\overline{B}\}$

证明

由于：
$P(\overline{A}B) = P(B-AB) = P(B)-P(AB) =$
$P(B) - P(A)P(B) = P(B)[1-P(A)] = P(\overline{A})P(B)$
故 $\overline{A}$ 和 $B$ 相互独立，由它立刻推得： $\overline{A}$ 和 $\overline{B}$ 相互独立；由 $\overline{A}= A$ 又推出 $A,\overline{B}$ 相互独立。

下面，我们考虑多个事件的独立性：
先定义三个事件： $A,B,C$ 的独立性。

定义2.2.2（多个事件的相互独立）

对于三个事件 $A,B,C$，若下列四个等式同时成立，则称他们 相互独立 ：
$\begin{cases}P(AB) = P(A) P(B)\\P(BC) = P(B)P(C)\\P(AC) = P(A)P(C)\end{cases}$
$P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$

自然，我们不难提出这个问题：三个事件 $A,B,C$ 两两独立，能否保证它们相互独立？事实上，这个问题的答案是否定的。

现在，我们当然可以定义 $n$ 个事件的独立性。
定义2.2.3（可列多个事件相互独立）

对 $n$ 个事件 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$，若对所有可能的组合： $1\leqslant i<j<\cdots\leqslant n$ 成立：
$\begin{cases}P(A_{i}A_{j}) = P(A_{i})P(A_{j})\\P(A_{i}A_{j}A_{k}) = P(A_{i})P(A_{j})P(A_{k})\\\cdots\\P(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}) = P(A_{1})P(A_{2})\cdots P(A_{n})\end{cases}$
则称 $A_{1}A_{2}\cdots A_{n}$ 相互独立。

显然，若 $n$ 个事件相互独立，则它们中的任意 $m (2\leqslant m<n)$ 个事件也是相互独立的。此外，对于多个相互独立的事件也成立类1似上述两个推论的结果。

最后，称无穷多个事件是相互独立的，若其中任意有限多个事件是相互独立的。

从事件独立性的定义可以立即看出：如果事件是独立的，则可以大大简化许多概率的计算。下面举两个例子：

[相互独立事件中至少发生其一的概率的计算]

若 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ 是 $n$ 个相互独立的事件，则由于：
$\overline{A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots\cup A_{n}} = \overline{A}_{1}\overline{A}_{2}\cdots \overline{A}_{n}$
因此
$P(A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots \cup A_{n}) = 1-P(\overline{A}_{1}\overline{A}_{2}\cdots \overline{A}_{n}) = 1-P(\overline{A}_{1})P(\overline{A}_{2})\cdots P(\overline{A}_{n})$
该公式比起不独立的情况要简便得多。

有了事件独立性的概念，我们即可以定义试验的独立性。

直观上说，若试验 $E_{1}$ 和试验 $E_{2}$ 是独立的，则他们结果的发生是独立的。因此，我们需要通过各试验的事件间的独立性定义试验的独立性。为了做到这一点，我们首先要构造一个可以描述这些试验的，公共的样本空间。

设试验 $E_{1}$ 的样本空间为 $\Omega_{1} = \{\omega^{(1)}\}$，试验 $E_{2}$ 的样本空间为 $\Omega_{2} = \{\omega^{(2)}\}$， $\cdots$，试验 $E_{n}$ 的样本空间为 $\Omega_{n} = \{\omega^{(n)}\}$。为描述这 $n$ 次试验，应构造复合试验 $E$，他表示依次进行试验 $E_{1},E_{2},\cdots,E_{n}$，其样本点为：
$\omega = (\omega^{(1)},\omega^{(2)},\cdots,\omega^{(n)})$
这个样本空间为 $\Omega_{1},\Omega_{2},\cdots,\Omega_{n}$ 的乘积空间，记为:
$\Omega = \Omega_{1}\times \Omega_{2}\times \cdots \Omega_{n}.$

接下来，我们引入“与第 $k$ 次试验有关的事件”的概念：这种事件的发生与否仅与第 $k$ 次试验的结果有关，也就是说，为了判断某一样本点是否属于这个事件，我们只需要考察它的第 $k$ 个分量。值得指出的是，必然事件 $\Omega$ 和不可能事件 $\empty$ 可认为与所有的试验有关。
现在若以 $\mathscr{A}_{k}$ 记与第 $k$ 次试验有关的事件全体，则可通过下列方式定义试验的独立性：

定义2.2.4（试验的相互独立性）

若对于任意的：
$A^{(1)} \in \mathscr{A_{1}}, A^{(2)} \in \mathscr{A_{2}},\cdots,A^{(n)} \in \mathscr{A_{n}}$
均成立
$P(A^{(1)}A^{(2)}\cdots A^{(n)}) = P(A^{(1)})P(A^{(2)})\cdots P(A^{(n)})$
则称试验 $E_{1},E_{2},\cdots,E_{n}$ 是 相互独立的。

注意到： $\Omega \in \mathscr{A}_{i},i = 1,2,\cdots,n$，因此由定义推得：若 $n$ 个实验相互独立，则其中的 $m(2\leqslant m<n)$ 个试验也是相互独立的。