ACM矩阵基础入门

矩阵

定义

  顾名思义。就是由元素组成的矩形阵列。

表示

  一个 $n$行 $m$列的矩形阵列即是 $n$行 $m$列的矩阵，例如 $2$行 $3$列的矩阵: $\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}$ 在C++程序中可以使用二维数组表示矩阵。

struct Matrix
{
    int d[2][3];
};

零矩阵

  所有元素都为数0的矩阵称为零矩阵。

n阶方阵

   $n$行 $n$列的矩阵称为 $n$阶方阵 。

上三角矩阵

  主对角线：n阶方阵的左上角与右下角之间的连线称为它的主对角线。
   $n$阶方阵的主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角矩阵。

下三角矩阵

   $n$阶方阵的主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角矩阵。

单位元矩阵

  单位元矩阵：n阶方阵的主对角线上的值全是1，非主对角线上的值全是0。例如：3阶方阵
$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
单位元矩阵与任何矩阵相乘都等于原矩阵。
任何矩阵和单位元矩阵相乘都等于原矩阵。(两条不同)

邻接矩阵

  例题：各城市之间交通连接形成一个交通网络图。设图上有 $n$个城市构成的节(顶)点 $v_1$、 $v_2$、···、 $v_n$，在每两个节点(城市)之间以线段相连接，这些线段可以是有向的，用箭头表示；也可以是无向的，因而可画出双箭头。这就形成了一个交通网络图，这样的图称为有向图(如果图上线段都是双向的，可以不画箭头，称为无向图)，这个图可以用 $n×n$矩阵表示，这个矩阵叫做邻接矩阵，它的行和列分别表示这些节点的编号，行号表示出发节点(出度)，列号表示到达节点(入度)。任何一条有向线段，在矩阵中用一个数值为1的元素表示，即若邻接矩阵 $A=(a_{ij})_{n×n}$，则 $a_{ij} = \begin{cases}1，节点v_i到v_j有箭头(不含中间节点)\\0，节点v_i到v_j没有箭头\end{cases}$
例如图：
邻接矩阵： $\begin{matrix}&v_1&v_2&v_3&v_4&v_5\\v_1&0&1&0&0&0\\v_2&0&0&1&0&0\\v_3&0&1&0&1&1\\v_4&1&0&0&0&0\\v_5&1&1&0&1&0\end{matrix}$

矩阵的运算

加法

  矩阵加法首先满足两个矩阵的行和列一样，即都是 $n$行 $m$列的矩阵，相加结果也是 $n$行 $m$列的矩阵，即： $A(i,j)+B(i,j)=(A+B)(i,j)$。
$\begin{pmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{pmatrix}$

运算规则

1. 满足交换律
   $A+B=B+A$
2. 满足结合律
   $(A+B)+C=A+(B+C)$

减法

  矩阵减法首先满足两个矩阵的行和列一样，即都是 $n$行 $m$列的矩阵，相减结果也是 $n$行 $m$列的矩阵，即： $A(i,j)-B(i,j)=(A-B)(i,j)$。
$\begin{pmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1-0&3-0&1-5\\1-7&0-5&0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&-4\\-6&-5&0\end{pmatrix}$

运算规则

1. 满足交换律
   $A+B=B+A$
2. 满足结合律
   $(A+B)+C=A+(B+C)$

数乘

  注意这里不是乘法，只是数乘，用一个数，去乘矩阵里的每一个数。 $λA(i,j)=λA_{ij}$
$5*\begin{pmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5*1&5*3&5*1\\5*1&5*0&5*0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&15&5\\5&0&0\end{pmatrix}$

运算规则

1. 满足结合律
   $(λμ)A=λ(μA)$
   $(λ+μ)A=λA+μA$
2. 满足分配律
   $λ(A+B)=λA+λB$

乘法

  这个才是矩阵的重头戏。矩阵乘法中，两矩阵必须满足矩阵 $A(n_a,m_a)$的列等于矩阵 $B(n_b,m_b)$的行。即 $m_a=n_b$。相乘的结果矩阵 $C(n_c,m_c)$中的行等于矩阵 $A(n_a,m_a)$中的行，即 $n_c=n_a$，矩阵 $C(n_c,m_c)$中的列等于矩阵 $B(n_b,m_b)$中的列，即 $m_c=m_b$。
矩阵乘法的公式： $C(i,j) = A(i,1)*B(1,j)+A(i,2)*B(2,j)+···+A(i,m_a)*B(n_b,j) =\sum_{k=1}^{m_a}{A(i,k)*B(k,j)}$
$\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(1*3+0*2+2*1)&(1*1+0*1+2*0)\\(-1*3+3*2+1*1)&(-1*1+3*1+1*0)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\4&2\end{pmatrix}$

运算规则

1. 满足结合律
   $(AB)C=A(BC)$
   $(λA)B=λ(AB)+A(λB)$
2. 满足分配律
   $A(B±C)=AB±AC$(左分配律)
   $(B±C)A=BA±CA$(右分配律)

参考链接：http://www2.edu-edu.com.cn/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0605.html

矩阵快速幂

我们已经学习过数字快速幂，例如： $A^k\%mod$。
数字快速幂代码：

typedef long long LL;//为long long重命名
LL ppow(LL n, LL k)
{
	LL res = n;
	LL ans = 1;
	while(k)
	{
		if(k&1) ans = ans*res;
		res = res*res;
		k >>= 1;
	 } 
	 return ans;
}

矩阵快速幂和数字快速幂大致相同，只需要将 $ans、res$两个 $LL$类型的整数改成矩阵就可以了。

const int m_max = 15;
struct Matrix
{
    int d[m_max][m_max];
};
int m_size;
Matrix matrix_mul(Matrix a, Matrix b)
{
    Matrix ans;
    for(int i = 0; i < m_size; i++)
        for(int j = 0; j < m_size; j++)
        {
            ans.d[i][j] = 0;
            for(int k = 0; k < m_size; k++)
            {
                ans.d[i][j] += (a.d[i][k]*b.d[k][j]);
            }
        }
    return ans;
}
Matrix init()//把矩阵初始化单位元矩阵
{
    Matrix ans;
    for(int i = 0; i < m_size; i++)
        for(int j = 0; j < m_size; j++)
            ans.d[i][j] = i==j?1:0;
    return ans;
}
Matrix ppow(Matrix a,int k)
{
    Matrix ans = init();
    
    Matrix res = a;
    while(k)
    {
        if(k&1)
            ans = matrix_mul(ans, res);
        res = matrix_mul(res, res);
        k >>= 1;
    }
    return ans;
}

第二十四天训练学习A题解
题目链接：A：Tr A
题解：板子题，题意很明确。
代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int mod = 200907;
typedef long long LL;

const int m_max = 15;
struct Matrix
{
    int d[m_max][m_max];
};
int m_size;
Matrix matrix_mul(Matrix a, Matrix b)
{
    Matrix ans;
    for(int i = 0; i < m_size; i++)
        for(int j = 0; j < m_size; j++)
        {
            ans.d[i][j] = 0;
            for(int k = 0; k < m_size; k++)
            {
                ans.d[i][j] = (ans.d[i][j]+a.d[i][k]*b.d[k][j])%9973;
            }
        }
    return ans;
}
Matrix init()//把矩阵初始化单位元矩阵
{
    Matrix ans;
    for(int i = 0; i < m_size; i++)
        for(int j = 0; j < m_size; j++)
            ans.d[i][j] = i==j?1:0;
    return ans;
}
Matrix ppow(Matrix a,int k)
{
    Matrix ans = init();
    
    Matrix res = a;
    while(k)
    {
        if(k&1)
            ans = matrix_mul(ans, res);
        res = matrix_mul(res, res);
        k >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        int k;
        Matrix a;
        scanf("%d%d", &m_size, &k);
        for(int i = 0; i < m_size; i++)
        {
            for(int j = 0; j < m_size; j++)
            {
                scanf("%d", &a.d[i][j]);
            }
        }
        Matrix ans = ppow(a,k);
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < m_size; i++)
        {
            sum += ans.d[i][i];
        }
        printf("%d\n", sum%9973);
    }
    return 0;
}