蓝桥杯——边界为1的最大子方阵（预处理）

题目描述：给定一个N✖N的矩阵matrix，在这个矩阵中，只有0和1两种值，返回边框全是1的最大正方形的边长长度。

例如：

{0,1,1,1,1},
{0,1,0,0,1},
{0,1,0,0,1},
{0,1,1,1,1},
{0,1,0,1,1}
 其中，边框全是1的最大正方形的大小是4*4，故返回4。

这道题我之前还写过一篇采用暴力搜索法来解决的，但是时间复杂度比较大O(N^4)可能会超时，没看过的小伙伴可以看下：暴力搜索版

此处我们先对这个矩阵进行预处理，有点类似于动态规划，思路就是新建一个N✖N✖2的三维数组，其中规定，每一个元素如果是1，那么就看这个元素的右侧和下侧分别有多少个连续的1，然后利用三维数组的最后一维的0号位置来存右侧的（包括本身）1的个数，最后一维的1号位置来存下侧的（包括本身）的1的个数。这里有个小技巧就是应当从最后一行的最后一个元素（即[N-1][N-1]）来向前进行初始化。然后我们再检查这个辅助三维数组是否满足某一个特定的阶数（例如n阶）即可——检查的方法也很简单，只需要看当前元素（以此为边框的左上顶点）的右侧和下侧是否至少有n个1，右顶点的下侧是否至少有n个1，以及左下顶点的右侧是否至少有n个1。

看下代码吧：

#include<iostream>
#define N 5

using namespace std;

int solve(int matrix[][N]){
	 
	int helper[N][N][2]={0};  //申请一个辅助数组空间
	int r = N-1,c = N-1;  //r,c为要预处理的当前位置，从最后一个元素开始
	//先对最后一行初始化 
		for(;c>=0;c--){
			if(matrix[r][c] == 1){   //前提得是1 
				if(c == N-1){  //如果是最后一列 
					helper[r][c][0] = 1;
					helper[r][c][1] = 1;
				}
				else{
					helper[r][c][0] = helper[r][c+1][0] + 1;
					helper[r][c][1] = 1;
				}
			}
		}
		
		//再对前面的预处理
		//防止越界 
		if(N-2 >= 0){ 
			r = N-2;
			for(;r>=0;r--){
				for(c = N-1;c>=0;c--){
					if(matrix[r][c] == 1){   //前提得是1 
						if(c == N-1){  //如果是最后一列 
							helper[r][c][0] = 1;
							helper[r][c][1] = helper[r+1][c][1] + 1;
						}			
						else{
							helper[r][c][0] = helper[r][c+1][0] + 1;
							helper[r][c][1] = helper[r+1][c][1] + 1;
						}
					}
				}
			}
	 	
		}   
	
	int n = N;  //初始阶数为N
	while(n>=0){ 
	for(int i=0;i<N;i++){
		if(i + n > N) break;
		for(int j=0;j<N;j++){
			if(j + n > N) break;
			//check一下左上顶点的右边和下边，右上顶点的下边以及左下顶点的右边是否满足n阶 
			if(helper[i][j][0] >= n && helper[i][j][1] >= n && helper[i][j+n-1][1] >= n && helper[i+n-1][j][0] >= n){
				return n;
			}
		}
	} 
	n--;
}
	 return n;  //全为0的情况 

} 
int main(){
	
	int matrix[N][N] = {
	{0,1,1,1,1},
	{0,1,0,0,1},
	{0,1,0,0,1},
	{0,1,1,1,1},
	{0,1,0,1,1}
	};
	int res = solve(matrix);
	cout<<"result: "<<res;
}

运行结果也是一样的：

也欢迎大家测试一下有没有漏洞，我测的时候除了matrix是空的有点小问题以外，其他都正常，如果有问题也请慷慨指出哦。

时间复杂度分析：初始化辅助数组的时候是N²（N+N²），而在检查的时候是N³（while：N，for✖2：N²），所以只需要O(N³)的复杂度。