【笔记】ZKW线段树一：单点修改，区间查询

打了这么久比赛连线段树都不会就离谱

参考资料 ：
线段树详解 （原理，实现与应用）， CSDN，岩之痕
《统计的力量》，清华大学，张昆玮

今夜，我是ikun.

简介

zkw线段树是一种非递归的线段树，以常数小、代码短著称。

单点加减，区间求和

洛谷P3374 【模板】树状数组 1

//zkw线段树，只能查询[1,m-2]的范围
struct SGT
{
	ll save[M<<2], m;
	void build(int n) //含read
	{
		for(m=1; m<=n+1; m<<=1) continue;
		for(int i=m+1; i<=m+n; ++i) save[i] = read();
		for(int i=m-1; i>=1; --i)
			save[i] = save[i<<1] + save[i<<1|1];
	}
	ll query(int s, int t) //sum[s,t]
	{
		ll ans = 0;
		for(s=s+m-1, t=t+m+1; s^t^1; s>>=1, t>>=1)
		{
			if(~s&1) ans+=save[s^1];
			if( t&1) ans+=save[t^1];
		}
		return ans;
	}
	void modify(int n, ll val) //save[n]+=val
	{
		for(save[n+=m]+=val, n>>=1; n; n>>=1)
			save[n] = save[n<<1] + save[n<<1|1];
	}
}sgt;

存储性质：

1. zkw线段树的存储方式是堆式存储，叶子节点数有 $m$个，前面的节点数有 $m-1$个，总结点数 $2*m-1$个， $m$是大于 $n+1$的最小的2的幂。所以需要开4倍空间。
2. 根节点的编号是 $1$，非叶子节点的编号是 $[1,m)$，叶子节点的编号是 $[m,2m)$。原数组 $[1,n]$在线段树中对应 $[m+1,m+n]$.
3. 叶子节点存储数组本身，每个非叶子节点存储它两个儿子的和。建树复杂度 $O(n)$

单点修改：

修改位置加 $m$可以直接获得叶子下标，首先将叶子里存储的值修改，然后向上递归即可，复杂度 $O(logn)$.

区间求和

1. 注意，zkw线段树是将闭区间转化为开区间做查询，实际可查询的最大闭区间是 $[1,m-2]$，超过这个范围就需要平移或者扩容。
2. 首先获得开区间对应的叶子下标 $(s,t)$，然后不断向上迭代直至两个下标成为兄弟节点（异或值为一）时停止。
3. 迭代过程中，如果 $s$的最末位为 $0$，那么 $s$异或 $1$这个节点对应的值需要被加上。
4. 同理，如果 $t$的最末位为 $0$，那么 $t$异或 $1$这个节点对应的值也需要被加上。
5. 复杂度 $O(logn)$

举例：求闭区间 $[1,4]$的和（图片来源于《统计的力量》）

1. 首先转化为开区间 $(0,5)$，对应叶子下标 $s=8,t=13$
2. $s=8,t=13$，那么 $ans+=save[s \oplus1 ]+save[t\oplus1]$，向上迭代
3. $s=4,t=6$，那么 $ans+=save[s\oplus 1]$，（5对应的值需要被算，7不用），向上迭代
4. $s=2,t=3$，两者互为兄弟，退出。

bouns：计算前缀和时用不到所有的右孩子节点，即【(左)线段树=树状数组】。

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例题：HDU1754

单点修改，区间求max.

把上述的所有和操作改成max即可。

/* LittleFaint : Heinto! */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; using ll = long long; inline int read();
const int M = 200016, MOD = 1000000007;

//zkw线段树，只能查询[1,m-2]的范围
struct SGT
{
	int save[M<<2], m;
	void build(int n) //含read
	{
		for(m=1; m<=n+1; m<<=1) continue;
		for(int i=m+1; i<=m+n; ++i) save[i] = read();
		for(int i=m-1; i>=1; --i)
			save[i] = max(save[i<<1], save[i<<1|1]);
	}
	int query(int s, int t) //sum[s,t]
	{
		int ans = 0;
		for(s+=m-1, t+=m+1; s^t^1; s>>=1, t>>=1)
		{
			if(~s&1) ans=max(ans, save[s^1]);
			if( t&1) ans=max(ans, save[t^1]);
		}
		return ans;
	}
	void modify(int n, int val) //save[n]=val
	{
		for(save[n+=m]=val, n>>=1; n; n>>=1)
			save[n] = max(save[n<<1], save[n<<1|1]);
	}
}sgt;


int main(void)
{
	#ifdef _LITTLEFALL_
	freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif

	int n,m;
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
	{
		sgt.build(n);
		while(m--)
		{
			char op[3]; int x, y;
			scanf("%s%d%d", op, &x, &y);
			if(op[0]=='U')
				sgt.modify(x, y);
			else
				printf("%d\n",sgt.query(x,y) );
		}
	}


    return 0;
}


inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}