LeetCode 寻找两个有序数组的中位数 | 解二

寻找两个有序数组的中位数

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题目来源：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/submissions/

题目

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给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。

请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。

你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

则中位数是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

解题思路

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这里先理解中位数的概念：在统计学中，中位数指的是可将数值集合划分为相等的上下两部分，其中一部分的元素总大于另一部分的元素。

根据这个概念，我们现在对两个数组进行划分，num1 数组用大写 A 表示，num2 数组用大写 B。这里仅为方便书写。

先对 A 进行划分，在任意 i 处，将 A 划分为两部分：

在任意 j 处，也对 B 进行划分：

将 A 跟 B 两个数组的左边部分和右边部分，各合在一块

按照中位数的概念，只要保证左边部分与右边部分的长度相等，且左边部分的最大数小于右边部分的最小数，那么就可以求出中位数，即：

$len(left) == len(right)$

$max(left) \leq min(right)$

要满足上的两个式子，必须满足下面的条件：

$i + j = m - i + n - j$（或者： $i + j = m - i + n - j + 1$，即 $m + n$ 之和为奇数时）

$B[j-1] < A[i]$ 以及 $A[i-1] < B[j]$

只要满足上面的等式就能够找到中位数。

第一个条件中，由于 m + n 和的奇偶不定，分开分析：

假设两者之和为偶数，则：

$i+j=m-i+n-j$，推导出 $j = \cfrac{m+n}{2}-i$

当满足第二个条件时，中位数则为：

$\cfrac{max(A[i-1],B[j-1]) + min(A[i],B[j])}{2}$

假设两者之和为奇数，则：

$i+j=m-i+n-j+1$，推导出 $j = \cfrac{m+n+1}{2}-i$

这个时候满足条件二，中位数为：

$max(A[i-1], B[j-1])$

其实，这里无论两者之和是否为奇偶，j 都可以表示为：

$j = \cfrac{m+n+1}{2}-i$

因为 j 的取值为整数，最终都会向下取整。但是这里要注意，因为 j 的取值是不能为负的。所以必须满足 m <= n 的前提，否则 j 有可能小于 0，这样程序运行起来则会出错。

现在主要考虑第二个条件，因为两个数组是有序的，所以

$A[i-1] \leq A[i]，B[j-1] \leq B[j]$

是必然的，现在只要考虑

$B[j-1] \leq A[i] 和 A[i-1] \leq B[j]$

这里先不考虑边界的问题，划分两个数组时，会出现以下的情况：

• $B[j-1] > A[i]$

这里就表示 i 太小，i 的值要相应增大，同时减小 j，知道达到符合条件。这里 j 会随着的 i 的增大而减小，所以只处理 i 就可以。

• $A[i-1] > B[j]$

这种情况，即表示 i 的值太大，需要减小 i 的值，同时增大 j 的值。

上面是不考虑边界的问题，下面讲一下考虑边界的情况：

先考虑 i = 0，或者 j = 0，也就是在数组最前面划分。这个时候，左边部分当 j = 0 时，左边最大值则是 A[i-1]；当 i = 0 时，最大值就是 B[j-1]。

当 i = m 或者 j = n 的情况下，也就是数组在最后面划分。当 i = m 时，右边最小值就是 B[j]，当 j = n 时，右边最小值就是 A[i]

上面就是考虑 i 为 0 或者为 m 的情况。j 为 0 或者 n 的情况。这里 i 在变化的时候，j 是否会越出边界的问题，这个可以不考虑，如下推导：

因为 $m \leq n$ ，并且 $0 < i < m$， $i$ 为整数，可以推出下面的结论：

$m \leq n, i < m \implies j=\cfrac{m+n+1}{2}-i>\cfrac{m+n+1}{2}-m\geq\cfrac{2m+1}{2}-m\geq0$

$m \leq n, i > 0 \implies j=\cfrac{m+n+1}{2}-i \leq \cfrac{m+n+1}{2}-1\leq\cfrac{2n+1}{2}-1 < n$

这个推导说明，只要符合 $m \leq n$ ，并且 $0 < i < m$， $i$ 为整数， $j$ 不会越出边界。

这里由于只考虑长度较短数组划分的情况，且使用的是分治算法，所以时间复杂度是 $O(log(min(m,n)))$

代码实现

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class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2) -> float:
        m = len(nums1)
        n = len(nums2)
        # 这里要始终满足 m <= n 的条件，防止运行出错
        if m > n:
            nums1, nums2, m, n = nums2, nums1, n, m
        # 这里考虑的两个数组为空的状态，直接抛出异常
        if n == 0:
            raise ValueError

        # 只考虑 i 的取值，j 会随之变化，且不会越界
        i_min, i_max, half_len = 0, m, (m + n + 1) // 2
        while i_min <= i_max:
            i = (i_min + i_max) // 2
            j = half_len - i
            if i < m and nums2[j-1] > nums1[i]:
                # i 数值过小，增大 i
                i_min = i + 1
            elif i > 0 and nums1[i-1] > nums2[j]:
                # i 数值过大，缩减 i
                i_max = i - 1
            else:
                # 当 i 就是需要找的值时，
                # 考虑边界在最前面切分时，左边最大值的取值情况
                # 以及正常情况下，左边最大值的取值情况
                if i == 0:
                    max_of_left = nums2[j-1]
                elif j == 0:
                    max_of_left = nums1[i-1]
                else:
                    max_of_left = max(nums1[i-1], nums2[j-1])
                # 当为奇数的情况下，中位数就是左边的最大值
                if (m + n) % 2 == 1:
                    return max_of_left

                # 当在最后面切分时，右边最小值的情况
                # 以及正常情况下的，右边最小值的情况
                if i == m:
                    min_of_right = nums2[j]
                elif j == n:
                    min_of_right = nums1[i]
                else:
                    min_of_right = min(nums1[i], nums2[j])

                # 数组长度之和为偶数的情况下，返回左边最大值和右边最小值的平均值
                return (max_of_left + min_of_right) / 2.0

实现效果

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以上就是《寻找两个有序数组的中位数》第二种解法，根据中位数的概念。