基础

原理推导什么的看大佬的博客就行了，直接往最下面找参考，我这就是个笔记本。
$AA^T$ 的特征向量就是 $U$ ， $A^TA$ 的特征向量是 $V$ ，中间的就是 $AA^T$ 的特征值的平方根，奇异值的个数=A的秩数

在这里插入图片描述

一般使用的时候只取其中的部分：
在这里插入图片描述

其中r远小于m or n, 如果r的取值远远小于n，从计算机内存的角度来说，右边三个矩阵的存储内存要远远小于矩阵A的

奇异值的计算：
在这里插入图片描述

也可以用这个求奇异值， $u_i,v_i$ 分别是 $U,V$ 的特征向量：
在这里插入图片描述

特征对应关系：
在这里插入图片描述

每个特征向量都能代表一个特征，特征值代表该特征的重要程度

概念理解

在这里插入图片描述
分析观众和电影的

S矩阵只有三维，是因为 $A$ 的秩=3，第一个奇异值是科幻，第二个奇异值是romance，第三个不知道是啥

然后左边的U矩阵，每一行都是每个人对各个类别的喜好程度，不同的行代表不同的人，不同的列代表不同的电影种类

中间的S代表权重，分别是某一“concept”的整体重要性

这个V是指每个电影对concept(三个，科幻、浪漫、其他)的匹配度

为啥 $A^TA$ 的特征向量有这个功能？A的第一维度是people，第二维度是movies，那 $A^TA$ 就是 $movies \times movies$ 。所以V的维度就是 $movies_{feature} \times movies_{num}$ ，就是说有三个concept，而每一行的内容，就是每个电影对这个concept的影响程度

那 $U$ 就是 $people \times people$ 的特征向量，不同的观众的观影特征被分成了三种，得到 $people_{num} \times people_{feature}$ ，然后这个的特征向量和 $A^TA$ 的特征向量又是相似的，所有 $U$ 就是user对不同concept的喜欢程度

在这里插入图片描述
根据这个公式可以知道，奇异值是和两种特征向量都关联的，而且也知道

所以说这个特征本来就是藏在A中的，试试拿出来了，然后在不同的维度(people movies)中使用它

在这里插入图片描述

获取主要特征：
在这里插入图片描述

对应的显示如下图
在这里插入图片描述

原理解释：
在这里插入图片描述
将 $u,v$ 都单位化，然后用 $\sigma$ 来进行缩放，所有的结果求和就是A的值，所以省略掉那些 $\sigma$ 很小的内容，对A也没什么影响， $||A-sum||$ 的值很小

使用：
看喜欢Matrix的喜欢哪一concept：

在这里插入图片描述
这是从people到电影种类，就是concept，但是如果用列数据，好像得不出什么?

在这里插入图片描述

实现

官方API
这个API已经讲的很详细了，建议用matplotlib可视化，opencv的imshow需要uint8的数据格式，会掉精度
试了三种写法：

对每个通道分别做SVD，然后对每个通道分别取定量特征值，然后再把通道合并
对整个图片做SVD，API有提供batch功能，然后分别对每个通道取一定比例的特征值
对整个图片做SVD，然后对全部通道一起取一定比例的特征值

在这里插入图片描述
$前50个特征值，单独SVD和全部SVD$

在这里插入图片描述
$85\%的特征值，只占了特征总数的13\%，通道单独计算和整体计算$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

image = plt.imread('G:\\hanjia_code\\mx-DeepIM-master\\mx-DeepIM-master\\jian.png')

num = 0.85

def get_infor(num,u,s,v):
    if isinstance(num,int):
        S = np.diag(s)
        new_channel = np.dot(u[:,:num],np.dot(S[:num,:num],v[:num,:]))

    elif isinstance(num,float):
        S = np.diag(s)
        sum_s = np.sum(s)
        num_s = 0
        num_s_index = 0
        flag =True
        while (num_s < num * sum_s) & flag:
            num_s += s[num_s_index]
            num_s_index +=1
            if num_s_index==np.shape(u)[0] or num_s_index==np.shape(v)[0]:
                flag = False

        new_channel = np.dot(u[:,:num_s_index],np.dot(S[:num_s_index,:num_s_index],v[:num_s_index,:]))

    return new_channel


channel = []
for i in range(3):
    u,s,v = np.linalg.svd(image[:,:,i])
    channel.append(get_infor(num,u,s,v))

image_sep = np.stack((channel[0],channel[1],channel[2]),axis=2)






def get_infor_all(num,u,s,S,v):
    if isinstance(num,int):
        new_channel = np.matmul(u[:,:,:num],np.matmul(S[:,:num,:num],v[:,:num,:]))
        return new_channel
    elif isinstance(num,float):
        sum_s = np.sum(s)
        num_s = 0
        num_s_index = 0
        flag =True
        while (num_s < num * sum_s) & flag:
            num_s += np.sum(s[:,num_s_index])
            num_s_index +=1
            if num_s_index==np.shape(u)[1] or num_s_index==np.shape(v)[1]:
                flag = False

        new_channel = np.matmul(u[:,:,:num_s_index],np.matmul(S[:,:num_s_index,:num_s_index],v[:,:num_s_index,:]))

        return new_channel,num_s_index/np.shape(S)[1]

image_2 = np.rollaxis(image,axis=2)
u, s, vh = np.linalg.svd(image_2, full_matrices=True)
S_1 = np.diag(s[0])
S_2 = np.diag(s[1])
S_3 = np.diag(s[2])
S = np.stack((S_1,S_2,S_3),axis=0)


image_seq_3,index = get_infor_all(num,u,s,S,vh)
image_seq_3 = np.rollaxis(image_seq_3,axis=2)
image_seq_3 = np.rollaxis(image_seq_3,axis=2)

if isinstance(num,float):
    number = 20
elif isinstance(num,int):
    number = num
image_all = np.matmul(np.matmul(u[:,:,:number],S[:,:number,:number]), vh[:,:number,:])
image_all = np.rollaxis(image_all,axis=2)
image_all = np.rollaxis(image_all,axis=2)



fig,ax = plt.subplots(1,2)
ax[0].imshow(image_sep)
ax[1].imshow(image_seq_3)
plt.show()
print(index)