【Mark】特殊的图 CH06 19_12_12

二部图

• 相邻顶点分别在两部中
• 无向图是二部图当且仅当G中没有长度为奇数的回路
• 匹配：M中任意两条边均不相邻
  – 极大匹配：M中再加1条边就不匹配了
  – 最大匹配：边数最多匹配
  – 饱和点：被匹配的点
  – 完美匹配：G中所有点都被匹配了
• 二部：顶点分为V1部、V2部 （V1 <= V2）
• 完备匹配：V1中的点都被匹配了
  – Hall定理：
  – 对于V1中任意k个顶点至少邻接V2中k个顶点（充要）
  – t条件：
  – V1最小度 >= V2最大度（满足了就完备）

欧拉图

• 有欧拉回路
• 半欧拉图：有欧拉通路，没有欧拉回路
• 经过图中每条边仅一次，行遍图中每个点（有回路就是欧拉回路，有通路就是欧拉通路）
  – 边
• 无向图G有欧拉回路，当且仅当G是连通图且无奇度顶点
  – 有欧拉通路，无回路，当且仅当G是连通图且恰好有两个奇度顶点，此时这两个奇度顶点是欧拉通路的端点
• 有向图D有欧拉回路，当且仅当D是连通的且每个顶点的入度等于出度
  – 有欧拉通路，无欧拉回路，当且仅当D是连通的且只有两个特殊的顶点的入度不等于出度，其中，一个顶点的入度比出度大1，（此为通路终点），一个顶点的入度比出度小1，（此为通路始点）

哈密(尔)顿图

• 有哈密尔顿回路
• 半哈密尔顿图：有哈密尔顿通路，无哈密尔顿回路
• 经过图中每个顶点一次且仅一次（哈密尔顿回路 / 哈密尔顿通路）
  – 点
• 没有充要条件
• 必要条件：（是必满足，满足不一定是）
  – p(G - V1) <= |V1| 去掉V1后的连通分支数小于V1中顶点数
• 充分条件：（满足必是，是不一定满足）
  – 任何一对不相邻的顶点的度数之和都大于等于n - 1
• r >= 2 时，K(r, r)是哈密尔顿图 （Kr,r 完全二部图）
  – K(r, r + 1)是半哈密尔顿图
• 基图中包含Kn，有哈密尔顿通路
• 竞赛图：任意两个顶点之间恰好有一条有向边
• 格雷码：把所有n位0-1字符串排成一个序列，相邻的两个以及最后一个和第一个之间只有一位不同

平面图

• 有平面嵌入
• 平面嵌入：能画成无交叉的图
• 平面嵌入的边将整个平面划分成若干个区域，称为面
• 其中面积无限的面称为无限面或外部面，即R0
• 有限的就是有限面或内部面
• 边界：包围面的回路
• 所有面的次数之和等于边数的2倍
• 极大平面图：不能再加边了，再加就交叉了
• 极小非平面子图：任意删除一条边，得平面图
• 欧拉公式：n - m + r = 2
• n：顶点，m：边，r：面
  – 不连通的话，外部无限面是同一个

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