基础理论：
- 排列
有限集的子集按某种条件的序化法排成列、排成一圈、不许重复或许重复等。
从n个不同元素中每次取出m（1≤m≤n）个不同元素，排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的无重复排列或直线排列，简称排列
五个字母全排列有5！=120
- 组合
从n个不同元素中每次取出m个不同元素（0≤m≤n），不管其顺序合成一组，称为从n个元素中不重复地选取m个元素的一个组合。
所有这样的组合的总数称为组合数，这个组合数的计算公式为：
1、对于相同元素的有序分组问题（利用隔板法）
参考博客:http://www.sohu.com/a/230556468_301997
【例1】现有7个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子至少放一个球，问有多少种不同的放法？
【思路点拨】这道题满足隔板法基本模型的三大条件（1.有若干个相同的元素；2. 将元素有序分组，每组至少有一个元素；2. 元素不能有剩余），所以我们可以直接应用隔板法。首先我们将7个小球排成一排。在7个小球中间一共有6个间隔，在这6个间隔中我们挑出3个间隔插入隔板，这样我们就将小球分成了四份，并且每一份都至少有一个小球。接着我们将这四份小球按从左到右的顺序依次放入1-4号四个盒子中，就得到了对应的一种放法。这样一来，每一种隔板的插法就对应了一种小球的方法。6个间隔中插入3个隔板的插法共20种，即本题共有20种不同的放法。
【方法总结】将个相同的元素有序的放入个盒子中（不允许空盒），相当于在个间隔中插入个隔板，因此不同的放法与不同的隔板插法种数相同，共有种放法。这里的是组合数种的基本公式，其计算公式为【 组合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n!/m!（n-m）！】。
n=6,m=3
2、变式（1）：受限制分组问题
【例2】现有12个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子至少放两个球，问有多少种不同的放法？
【思路点拨】每个盒子我只要至少放一个球就可以啦。也就是说只要让每个盒子里提前都装入一个球，那就可以用隔板法。
所以先拿出4个球，分别装入四个盒中，现在每个盒子里都有1个球了！这样一来问题就变成了将剩下8个相同的球，有序地装入四个盒子中，每个盒子中至少放入1个球，有多少种放法？这还不简单，直接应用刚才基本隔板法模型的结论，在7个间隔中插入3个隔板。
【方法总结】本题为隔板法的变式，原理在于需要先在每个盒子中放入一定数量的小球，再转化为隔板法的基本模型。总结如下：将个相同的元素有序的放入个盒子中（每个盒子中至少放入个元素，），需要先在每个盒子中放入个元素，再将剩余元素利用隔板法放入个盒子中
n=7 m=3
【例3】现有12个相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？
【思路点拨】这道题和例2有些类似，必须要先在某些盒子中放入某个数量的小球，才能转化为隔板法解决。比如2号盒子中最终至少要有2个小球，所以考试君在2号盒子中先放入1个球。同理在3号盒子中先放入2个球，4号盒子中先放入3个球。这样保证每个盒子中只需要再至少放入1个球就可以达到要求。故对剩余6个球用隔板法放入四个盒子中.
【方法总结】本题同样为隔板法的变式，总结如下：当每个盒子均不是空盒且元素数量要求不同时，我们需要先放入一定数量的元素，使得每个盒子中只需要再至少放入1个元素就可以达到要求。再对剩余的元素利用隔板法放入盒子中。
n=5,m=3;
【例4】现有8个完全相同的小球，将它们全部放入编号为1，2，3的三个盒子中，允许出现空盒，问有多少种不同的放法？
【思路点拨】我们先借3个球（有多少个盒子借多少个），让我用隔板法分个球”。成功地借到了3个球之后，这时候我们就可以这样来操作。加上原来地8个球，现在共有11个球，利用隔板法将它们放到三个盒子中，共有种放法。对于每一种放法，考试君都从每个盒子中拿出一个球还回去。当盒中分到一个球之后还回1个球，该盒实际上是空盒；分到两个球后还回1个球，该盒实际上只含一个球，依此类推。这样就成功地将8个相同的小球分入了三个盒中，允许有空盒的共有45种放法。
【方法总结】将个相同的元素有序的放入个盒子中（允许空盒），需要先通过外部力量另外借到个相同的元素，转化为将个元素用隔板法放入个盒子中（最后每个盒子都拿出一个球还回去），所以共有种放法。
n=10,m=3
编程例题
将20个球放进12个不同的袋子，每个袋子可以放0-20个球，有多少种放法？分析如何计算，然后编程解答。
进阶问题：每个袋子只能放0个、2个或3个球，该如何计算？
链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/b01b4a95413040eaa1effbd34280c78c
来源：牛客网
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
// 写入球的个数
int ball;
// 写入袋子的个数
int pack;
Scanner scan = new Scanner(System.in);
System.out.println("请输入球的个数");
ball = Integer.parseInt(scan.next());
System.out.println("袋子个数");
pack = Integer.parseInt(scan.next());
System.out.println(getban(ball, pack));
}
// 隔板法
public static long getban(int ball,int pack)
{
// 由于无法保证每个袋子都能装上一个球，无法使用隔板法，
// 所以故意往每个袋子加1个球，当排序的时候可以往每个袋子里减一个球就可以了
long result = 1;
int newball = ball + pack;
// 所以每个球的空隙有newball -1个
int newballair = newball -1;
// 因为需要放入12-1个袋子（插入12-1块板），所以用公式C（newballair,pack-1）
/*
* C(m,n) = m!/n!*(m-n)!
*/
for(int i = newballair - (pack - 1) + 1; i <= newballair ; i++)
{
result *= i;
}
return result / factorial(pack-1);
}
// 阶乘方法
public static long factorial(int num)
{
if(num == 1)
{
return 1;
}
else
{
return num * factorial(num-1);
}
}
}
例题2：五个球从盒子里拿出来，打乱顺序放回去，均不在原位的排列数是多少（）
思路：首先我们可以把五个球看成abcde，然后分为以下五种情况来排列
- 首先，a放在任意位置（想象成a右移），则有四种不同的排列
- a占b的位置，则cde有两种排列方式，分别是ecd和dec（e的两次右移）
- a不占b的位置（a，b不交换位置），B的位置没有被A占：则B的位置有3种选择，C的位置有3种选择（因为A在这3个里面，A无论在CDE的哪个位置上，都没有问题，只要A的位置定了，另外两个的位置肯定也定了，因为它们只能交换位置），所以是 3*3种
概率题
https://www.asklib.com/view/12798def.html
例子：
1000个钱币中有10个金币，取一次钱币是金币的概率为0.1，取两次呢，取n次呢
思路：求得每次取不到的概率，用1减去这个概率即可。
dp[n]＝990-(n-1)/1000-(n-1) *dp[n-1],dp[0]＝1
最终结果1-dp[n]
