DP 계산 원리

DP 카운트

정수 나누기

양의 정수 $n$ 은 여러 양의 정수의 합으로 표현할 수 있으며,이를 양의 정수 n의 나눗셈이라고합니다.

이제 양의 정수 n이 주어지면 n에 대해 얼마나 많은 다른 나눗셈 방법이 있는지 알아보십시오.

완벽한 배낭 쓰기

상태 표현

완전한 배낭 1 ～ i 1 ～ i 와 유사$1~i$ 분为$i$ 의 각 항목의 볼륨은$나는$ 총 볼륨jj를 찾는 수를 제한하지 않습니다.$j에$ 대한 계획 수

$f\left[i\right]\left[j\right]$ 는1에서 i 1에서 i까지를 의미합니다.$1~내가$ 정확히 전체 볼륨을 선택JJ수$J$

상태 계산

$f\left[i\right]\left[j\right]=f[i-1]\left[j\right]+f[i-1][j-i]+f[i-1][j-나는\ast 2]+\cdots +f[i-1][j-에스\ast i]$

$f\left[i\right][j-i]=f[i-1][j-i]+f[i-1][j-나는\ast 2]+\cdots +f[i-1][j-에스\ast i]$

$\therefore$$f\left[i\right]\left[j\right]=f[i-1]\left[j\right]+f\left[i\right][j-i]$

하나의 차원으로 최적화

완전한 배낭과 유사하게 작은 것부터 큰 것까지 열거 할 수 있습니다.

$f\left[j\right]=f\left[j\right]+f[j-i]$

const int N = 1010;
int f[N];

int main() {
    
    
	int n;cin >> n;

	f[0] = 1;
	for (int i = 1;i <= n;++i) {
    
    
		for (int j = i;j <= n;++j) {
    
    
			f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod;
		}
	}

	cout << f[n] << endl;
	return 0;
}

또 다른 해결책

상태 표현

모든 합은 $나는$ 정확히jj로표현된다$j\; 개$ 수의 합의 계획

상태 계산

두 가지 상황으로 나뉩니다.

① 최소값은 1이고 1을 제거하여 $f[i-1][j-1]$ 은$제이-1\; 개의$ 숫자의 합은$나는-1$

② 최소값이 1보다 큽니다. 각 숫자에 1을 빼서 f [i − j] [j] f [i-j] [j] 를 얻습니다 $f[i-j]\left[j\right]$ 는jj를의미합니다.$j\; 개$ 수의 합은$나는-제이$

$\therefore$$f\left[i\right]\left[j\right]=f[i-1][j-1]+f[i-j]\left[j\right]$

const int N = 1010;
int f[N][N];

int main() {
    
    
	int n;cin >> n;
	f[0][0] = 1;

	for (int i = 1;i <= n;++i) {
    
    
		for (int j = 1;j <= i;++j) {
    
    
			f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j]) % mod;
		}
	}
	int res = 0;
	for (int i = 1;i <= n;++i)res = (res + f[n][i]) % mod;

	cout << res << endl;

	return 0;
}