이분 그래프 일치-헝가리 알고리즘

매칭이란

일치 : 그래프 이론에서 "일치"는 두 가장자리에 공통 꼭지점이없는 가장자리 집합입니다.
최대 일치 : 그래프의 모든 일치 항목 중에서 가장 일치하는 모서리가 일치하는 것을이 그래프의 최대 일치라고합니다.

이분 그래프의 일치 : 이분 그래프 G가 주어지면 G의 하위 그래프 M에서 M의 가장자리 집합 {E}에있는 두 가장자리가 동일한 정점에 연결되지 않은 경우 M이 일치라고합니다.
이분 그래프의 최대 일치 : 모든 일치 항목 중 가장 많은 가장자리를 포함하는 일치 그룹을 이분 그래프 의 최대 일치라고하며 가장자리 수는 최대 일치 수입니다.

헝가리 알고리즘

이전의 채색 방법 은 그래프가 이분 그래프인지 여부를 판단하는 것이고,
헝가리 알고리즘 은 이분 그래프를 기반으로 이분 그래프의 최대 일치를 찾는 알고리즘 입니다.

이분 그래프는 정점을 두 세트 A와 B로 나눕니다. 세트 A와 B 사이에는 간선이 없으며 A와 B의 점 사이에는 간선이 있습니다. (A의 점 x와 B의 일부 점 사이에 모서리가 있습니다. 하나가있을 수도 있고 많을 수도 있고 없을 수도 있습니다.)
최대 일치는 가능한 한 많은 모서리를 선택하는 것입니다. A와 B Matching의 점, 일대일 일치, 즉 일치하는 항목은 다시 일치 될 수 없으므로 두 모서리에 공통 정점이 없습니다.

이분 그래프는 일반적으로 무 방향 그래프입니다., 양방향 일치, 일치하려고 할 때 한 방향에서 다른 방향으로 만 일치하면됩니다. 다음 질문과 코드는 집합 A에서 시작하여 집합 B의 중간까지 일치한다고 가정합니다 . 따라서 무 방향 그래프 이지만 A-> B 의 간선 만 저장할 수 있지만 B-> A의 간선은 저장할 수 없으므로 정점을 자동으로 두 세트로 나눌 수 있으며 노드의 수는 두 세트 모두 1에서 시작할 수 있습니다 .

매칭 과정

이미 찾고있는 여자는 남자 친구가있는 경우,
당신은 그녀의 남자 친구를 요청할 수 있습니다
당신은 스페어 타이어가있는 경우.
당신이 나에게 줄 수 있습니까?
그가 놓을 수
있다면 놓아주지 못한다면 그들은 진정한 사랑입니다.
다음 스페어 타이어를 찾습니다.

이때 임시 매칭 관계 a1 ---- b1, a2 ---- b2가 있다고 가정하면 A의 정점 a1에는 b1, b2, a2를 가리키는 점이 있고 b2를 가리키는 가장자리 만 있고 a3은 b1, b3 등을 가리 킵니다. ……의 가장자리에 대해 A에서 정점 a3의 일치를 예로 들어 보겠습니다.

일시적으로 일치하는 관계 a1 ---- b1, a2 ---- b2가 있다고 가정하면 a2는 b1을 가리키는 가장자리를 가질 수 없습니다. 그렇지 않으면 헝가리 알고리즘 코어 1을 따르지 않습니다.

다음 분석 프로세스 :

a3에 대해 일치하는 개체 를 찾습니다. A3은 먼저 b1을 찾고 b1이 일치하는 것을 찾습니다. 그러나 이때 a3은 b3을 찾지 않고 b1에게 일치하는 개체 a1을 찾도록 요청하고 a1이 일치 할 다른 점을 찾을 수 있는지 확인합니다. , 이때 a1에 대해 일치하는 객체를 찾는 문제로 돌아가 지만 일치하는 객체 b1은 금지 되어 있으므로 a1은 더 이상 b1을 찾을 수 없으며 b2로 이동하면 b2는 금지되지 않고 찾을 수 있지만 b2 이미 일치하는 객체 A2를 가지고 있으며, A2가 일치하는 개체를 변경할 수 있다면 부탁드립니다.이 때, 그것은 다시 A2에 대한 일치하는 객체를 찾는 문제이다 . 동시에, 점 B1 및 B2는 금지 , _{점 때문에 b1은 a3이 원하는 지점이고 b2 Point는 a1이 원하는 지점이며 모두 보류 중입니다} .하지만 A2는 돌아갈 수있는 여지가 없습니다., 이때 a2와 b2는 진정한 사랑이며 영구적으로 일치하고 잠겨 있습니다. 그런 다음 돌아가서 a1, b2는 좋지 않다고 말하면 다음을 찾을 수 있지만 a1도 후퇴 할 여지가 없으므로 a1과 b1도 진정한 사랑이며 영구적으로 일치하고 잠겨 있습니다. 그런 다음 a3, b1이 좋지 않다고 말하면 다음을 찾을 수 있습니다. 그러면 a3이 b3을 찾기 시작합니다 ...

상기 일치하는 배열과 일치 할 수 금지 상태가 배열대로 힘 나타낼 수 잠겨 성 배열을 나타낼 수있다
match[j]=i일시적으로 매칭되는 세트 및 세트 B의 점 I j를 나타내는 점
st[j]=true의 정점 j를 일시적으로 비활성화
vis[j]=true나타내는 match[i]=jI 및 j는 진정한 사랑입니다. 나중에 오는 정점에 대해 정점 j에 대해 생각하지 마십시오.

a1에 b1과 b2를 가리키는 모서리 만 있고 a2에 b1, b2를 가리키는 모서리 만 있고 a3에 b1, b2 및 b3을 가리키는 모서리가 있다고 가정합니다.
먼저 a1을 선택하고 일치 [a1] = b1
을 선택한 다음 선택합니다. a2, b1이 점유 된 것을 확인합니다. 그런 다음 a1이 양보하도록합니다. 이때 match [a1] = b2; match [a2] = b1;
그런 다음 a3이를 선택 하고 b1이 점유 된 다음 a3이 a2를 양보하도록합니다. . A2는 b1을 선택할 수 없지만 b2, a2 ​​만 선택할 수 있습니다. a1이 양보하도록 강요합니다. 이때 a1은 b1과 b2를 선택할 수 없습니다. A1은 후퇴 할 여지가 없습니다. A1과 b2는 잠겨 있습니다. a2에게 메시지를 말한 후 , a2 후퇴 할 공간이없고 a2와 b1이 잠겨 있습니다.
a3가 b2를 찾으면 a3에게 직접 말하고 b2가 잠겨 있고 표시되지 않으면 다음 항목을 찾을 수 있습니다.
다음으로, a3은 b3을 찾고 match [a3] = b3;

또 다른 예는 헝가리 알고리즘의 핵심 을 설명 하는 것입니다.

1. 첫 번째 일치는 일시적이며 두 번째 일치는 첫 번째 일치가 아닌 한 첫 번째 일치가 가능한 한 멀리 일치해야하기 때문에 얻을 가능성이 가장 높습니다.수율후퇴가없는 지점까지.
2. 이것은 재귀 적 프로세스입니다. 재귀 의 끝에서 일치하는 것은이 일치의 정점이 1 차이고 한 가장자리 만 다른 집합으로 확장되기 때문일뿐만 아니라 하나의 경우에 불과합니다. 일반적인 상황은 다음과 같습니다. 나는 후퇴 할 수없는 지점에 이르렀고, 더 이상 다른 정점에 줄 수 없으며, 나 자신을 놔 두었습니다.

제목 설명

이분 그래프가 주어지면 집합의 왼쪽 절반에는 n1 개의 점 ( 1-n1 )이 포함되고, 오른쪽 절반에는 n2 개의 점 ( 1-n2 )이 포함되며, 이분 그래프에는 총 m 개의 간선이 포함됩니다.

데이터는 모서리의 두 끝 점이 같은 부분에있을 수 없음을 보장합니다.

이분 그래프의 최대 일치 수를 찾으십시오.

입력 형식 첫
번째 줄에는 세 개의 정수 n1, n2 및 m이 포함됩니다.

다음 m 개 행에서 각 행에는 두 개의 정수 u와 v가 포함되어 있으며, 이는 점 집합의 왼쪽 절반에있는 점 u와 점 집합의 오른쪽 절반에있는 점 v 사이에 가장자리가 있음을 나타냅니다.

출력 형식
이분 그래프의 최대 일치 수를 나타내는 정수를 출력합니다.

데이터 범위
1≤n1,
n2≤500,
1≤u≤n1,
1≤v≤n2 , 1≤m≤10 ⁵

입력 샘플 :

222 4
1 1
2
2 1
2 2

샘플 출력 :

2

알고리즘 구현

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

#define read(x) scanf("%d",&x)
const int N=510,M=1e5+10;  //虽是无向图，但是存储单方向的边A->B即可，到时候从A找点匹配B
int h[N],e[M],ne[M],idx;
int match[N]; 
bool vis[N],st[N];
//三个数组维护的含义见上面或下面
int n1,n2,m;
"n1+n2是总顶点数，n1是A集合中顶点数，n2是B集合中顶点数，由题目要求限制"

void add(int a,int b)
{
    
    
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

int find(int v)
{
    
    
    for (int i=h[v];~i;i=ne[i]) {
    
    
        int j=e[i];
        if (!vis[j] && !st[j]) {
    
    
            if (match[j]==0) {
    
    match[j]=v; return true;}
            else {
    
    
                st[j]=true;
                if (find(match[j])) {
    
    match[j]=v; return true;}
                else vis[j]=true;
            }//此时说明B堆中的j结点与A堆中的结点match[j]是板上钉钉的匹配了，不能再改了，
        }    //所以后面的点再匹配就不用再找我了，
    }
    return false;
}

int main()
{
    
    
    memset(h,-1,sizeof h);
    read(n1),read(n2),read(m);//A堆顶点数n1,B堆顶点数n2，边数m
    int a,b;
    while (m--) {
    
    
        read(a),read(b);
        add(a,b);"两个堆中结点编号重复，这里无影响，也可以add(a,n1+b);"
    }
    int res=0; //统计最大匹配的边数
    for (int i=1;i<=n1;i++) {
    
    
        memset(st,false,sizeof st); //每次初始化一下st数组，重新禁止一些匹配。
        if(find(i)) res++; 
    }
    printf("%d",res);
    
    return 0;
}

일치 배열 :
A 힙을 가로 질러 A-> B의 가장자리를 저장합니다. 이때 match [i] = j;는 B 파일의 꼭지점 i가 A 파일의 꼭지점 j와 일치 함을 의미합니다. 그래프에서 꼭지점의 첨자는 모두 1부터 시작하므로 match [i] = 0 일 때 , 아직 일치하지 않음을 의미합니다.

st 배열 : st 배열
의 기능은 왼쪽 지점이 이미 오른쪽에 객체가있는 지점과 일치 할 때 오른쪽 지점이 측면의 왼쪽 지점에 해당하여 새로운 "객체"를 찾고 더 이상 찾을 수 없다는 것입니다. 다중 재귀로 인해 원본의 오른쪽에있는 지점은 각 재귀 이전에 금지 된 지점을 기록해야하므로 st 배열을 만들고 새 일치가 시작될 때마다 st 배열을 false로 재설정합니다.

vis 배열 :
vis 배열은 B 힙에서 선택되지 않은 포인트를 기록하는 데 사용됩니다. B 힙의 포인트가 A 힙의 포인트와 만 일치하면 잠기므로 찾을 수 없습니다. 일치 []).

기본 버전에서는 st 배열의 함수를 대체하기 위해 if (! vis [j] && match [j]! = x)에서 match [j]! = x를 사용하고 싶지만 각 재귀가 aj를 금지하기 때문에, 그리고 이것은 현재 j가 금지되고 이전 j에는 영향을 미치지 않으므로 쉽게 무한 루프가 발생합니다. 버스트 스택.

 bool find(int x)
{
    
    
    for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])  {
    
    
        int j=e[i];
        if (!vis[j] && match[j]!=x) {
    
    
            if (match[j]==0) {
    
    match[j]=x; return true;}
            else {
    
    
                if (find(match[j])) {
    
    match[j]=x; return true;}
                else vis[j] = true;
            }                     
        }
    }
    return false;
}

5 행의 판단이 다르지만 잘못된 것입니다.