Каталог статей
абстрактный
- ппn -арные функции истинности иnnСоответствие между n -арными формулами высказываний
- от nnn -арная функция истинности вводит понятие полного набора связок.
- Это теоретически объясняет, почему только использование ¬ , ∨ , ∧ \neg,\vee,\wedge¬ ,∨ ,∧Три связки могут выразить любую формулу высказывания.
- Вы даже можете использовать меньше связок (например, 2 или 1) для описания любой пропозициональной формулы.
- Развитые связки и несвязочные слова и /или несвязочные слова могут самостоятельно образовывать полный набор связок.
полный набор разъемов
ппn -арная функция истинности
-
Определение F: { 0 , 1 } n → 0 , 1 F:\{0,1\}^{n}\to{0,1}Ф:{ 0 ,1 }н→0 ,1 — **ннn -арная функция истинности**
- Функция ФФНезависимая переменная F равна nnn пропозициональных переменных
- Домен { 0 , 1 } n \{0,1\}^{n}{ 0 ,1 }n знак равно{ 0 ⋯ 0 , 0 ⋯ 1 , ⋯ , 1 ⋯ 1 } \{0\cdots{0},0\cdots{1},\cdots,1\cdots1\}{ 0⋯0 ,0⋯1 ,⋯,1⋯1 } , то есть имеется0, 1 0,10 ,Длина 1 равна nnВсе строки n
- Диапазон значений: { 0 , 1 } \{0,1\}.{ 0 ,1 }
-
ппn переменных предложения могут образовывать2 2 n 2^{2^{n}}22n различныхфункций истинности(аналогnnВсего существует 2 2 n 2^{2^{n}} для n -элементных формул высказываний.22n разных таблиц истинности)
- Предположим, что все nnНабор функций, состоящий из всех n- арных функций, равен S ( n ) S(n)С ( п )
- 函数f 1 ( Икс 1 , ⋯ , xn ) ∈ S ( n ) f_1(x_1,\cdots,x_n)\in{S(n)}ж1( х1,⋯,Иксн)€S ( n ) в2 n 2^{n}2Имеется 2 n 2^{n}при n назначениях.2n значений функции, обозначенных какf 1 ( x 1 ) , ⋯ , f 1 ( xn ) f_1(\bold{x}_1),\cdots,f_1(\bold{x}_n)ж1( х1) ,⋯,ж1( хн)
- Аналогично, пусть функция fj f_jжджчерез 2 н 2^{n}22 n 2^{n}при n заданиях2n значений функции, обозначенных какf 2 ( x 1 ) , ⋯ , f 2 ( xn ) f_2(\bold{x}_1),\cdots,f_2(\bold{x}_n)ж2( х1) ,⋯,ж2( хн)
- Если существует r ∈ { 1 , ⋯ , 2 n } r\in{\{1,\cdots,2^n\}}р€{ 1 ,⋯,2п }使得f 1 ( xr ) ≠ ж 2 ( xr ) f_1(\bold{x}_r)\neq{f_2(\bold{x}_r)}ж1( хр)"="ж2( хр) Объяснитеf 1 , f 2 f_1,f_2ж1,ж2это разные функции, в остальном они одинаковы
- 显然, ж ( xi ) f(\bold{x}_i)е ( хя) функция имеет только два возможных значения (0 или 1),i = 1, ⋯, 2 ni=1,\cdots,2^{n}я"="1 ,⋯,2n ;если вы укажетеfff в2 n 2^{n}2Значение функции при присвоении n независимых переменных, преобразуйте эти 2 n 2^{n}2Последовательность, состоящая из n значений функции, записывается какy 1 ⋯ y 2 n y_1\cdots y_{2^n}й1⋯й2н( yi ∈ { 0 , 1 } y_i\in\{0,1\}йя€{ 0 ,1 } ,я знак равно 1 , ⋯ , 2 ni=1,\cdots,2^{n}я"="1 ,⋯,2n ), то2 2 n 2^{2^{n}}22n различных последовательностей, соответствующих2 2 n 2^{2^{n}}22n таблиц истинности (функций)
-
Когда нет необходимости обсуждать конкретную функцию, а нужно только знать количество ее переменных, вы также можете обратиться к nnn -элементная функция истинности обозначается какF ( n ) F^{(n)}Ф( n ) , если вам нужно различать разные функции, укажите индекс:F i ( n ) F_{i}^{(n)}Фя( н )
-
Например, унарная функция истинности имеет 2 2 1 = 4 2^{2^{1}}=4.221"="4 _
-
х 1 х_1Икс1 F 0 ( 1 ) F_{0}^{(1)}Ф0( 1 ) F 1 ( 1 ) F_{1}^{(1)}Ф1( 1 ) F 2 ( 1 ) F_{2}^{(1)}Ф2( 1 ) F 3 ( 1 ) F_{3}^{(1)}Ф3( 1 ) 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1
-
-
Соответствие между функцией истинности и формулой высказывания
- Каждая основная дизъюнктивная нормальная форма соответствует бесконечному множеству эквивалентных пропозициональных формул, и каждая пропозициональная формула имеет уникальную и эквивалентную главную дизъюнктивную нормальную форму.
- Основная конъюнктивная нормальная форма аналогична основной дизъюнктивной нормальной форме.
- Каждая функция истинности соответствует бесконечному числу эквивалентных пропозициональных формул, а каждая пропозициональная формула соответствует уникальной функции истинности.
Полный набор разъемов
- Пусть ССS является связным множеством, если любоеn ( n ⩾ 1 ) n(n\geqslant{1})п ( н⩾1 ) Всеистиннозначные функциимогут состоять только изSSФормула, образованная связками в S , выражается какSSS —полный набор связок
- S знак равно { ¬ , ∨ , ∧ } S=\{\neg,\vee,\wedge\}С"="{ ¬ ,∨ ,∧ } — полный набор связок
- доказывать:
- любое n ( n ⩾ 1 ) n(n\geqslant{1})п ( н⩾1 ) Все функции истинности могут быть выражены в виде единственной главной дизъюнктивной нормальной формы (функция истинности→ \to→ (таблица значений функции переменной) таблица истинности→ \to→ Основная дизъюнктивная нормальная форма)
- Основная дизъюнктивная нормальная форма содержит только { ¬ , ∨ , ∧ } \{\neg,\vee,\wedge\}{ ¬ ,∨ ,∧ } , поэтомуS = { ¬ , ∨ , ∧ } S=\{\neg,\vee,\wedge\}С"="{ ¬ ,∨ ,∧ } — полный набор связок
вывод
- Пусть ССS — полный набор связок
- Если это ССS добавляет больше связок, чтобы получитьS 0 S_0С0, то S 0 S_0С0Это тоже полный комплект (включая резервирование)
- Например: { ¬ , ∨ , ∧ , → \neg,\vee,\wedge,\to ¬ ,∨ ,∧ ,→ };{ ¬ , ∨ , ∧ , → , ↔ \neg,\vee,\wedge,\to,\leftrightarrow ¬ ,∨ ,∧ ,→,↔ }
- Если ССНекоторое соединительное слово c 0 c_0в Sс0Может быть ССДругие связки в S (при условии, что они образуют SSПодмножествоS 0 S_0 из SС0) означает, что S 0 S_0С0Это также полный набор соединительных элементов.
- С 1 С_1С1= { ¬ , ∨ \neg,\vee
¬ ,∨ }
- Поскольку p ∧ qp\wedge{q}п∧q ⇔ \Leftrightarrow⇔ ¬ ( ¬ p ∨ ¬ q ) \neg{(\neg{p}\vee{\neg{q}})}¬ ( ¬ п∨¬ д )
- С 2 С_2С2= { ¬ , ∧ \neg,\wedge
¬ ,∧ }
- Поскольку p ∨ qp\vee{q}п∨q ⇔ \Leftrightarrow⇔ ¬ ( ¬ p ∧ ¬ q ) \neg{(\neg{p}\wedge{\neg{q}})}¬ ( ¬ п∧¬ д )
- С 1 С_1С1= { ¬ , ∨ \neg,\vee
¬ ,∨ }
- Если соединительный комплект SSS может быть объединено другим соединительным множествомS 0 S_0С0Связка in означает сокращение SS.S может бытьS 0 S_0С0значит, тогда S 0 S_0С0Это также полный набор соединительных элементов.
- С 3 С_3С3= { ¬ , → \neg,\to
¬ ,→ }
- Учитывая p → qp\to{q}п→q ⇔ \Leftrightarrow⇔ ¬ p ∨ q \neg{p}\vee{q}¬ п∨q иp = ¬ ¬ pp=\neg{\neg{p}}п"="¬ ¬ п
- 有p ∨ qp\vee{q}п∨q ⇔ \Leftrightarrow⇔ ¬ ¬ p ∨ q \neg\neg{p}\vee{q}¬¬ п∨q ⇔ \Leftrightarrow⇔ ¬ p → q \neg{p}\to{q}¬ п→д
- Видимый S 3 S_3С3Может выражать S 2 S_2С2, поэтому S 3 S_3С3Это также полный набор соединительных элементов.
- С 3 С_3С3= { ¬ , → \neg,\to
¬ ,→ }
- Если это ССS добавляет больше связок, чтобы получитьS 0 S_0С0, то S 0 S_0С0Это тоже полный комплект (включая резервирование)
Общие составные (расширенные) связки
и несвязывающие слова
-
Пусть p, qp,qп ,q — два предложения, сложное предложение»ppp и (союз)qqОтрицание q " ( ¬ ( p ∧ q ) ) (\neg{(p\wedge{q})})( ¬ ( р∧q ) )называетсяp , qp,qп ,И-НЕq записывается какp ↑ q = ¬ ( p ∧ q ) p\uparrow{q}=\neg{(p\wedge{q})}п↑д"="¬ ( п∧д )
-
↑ \uparrow↑ Даи нет союзов
-
Очевидно , p , qp,qп ,Когда q одновременно неверно,p ↑ qp\uparrow{q}п↑вопрос правда
-
п д п ↑ qp\uparrow{q}п↑д 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
или несвязывающее слово
-
Сложное предложение» стр.p или (дизъюнкция)qqОтрицание q называется p, qp,q.п ,Не-или-формаq обозначается какp ↓ qp\downarrow{q}п↓q =¬ ( п ∨ q ) \neg(p\vee{q})¬ ( п∨д )
-
↓ \downarrow↓ названноеили несвязное слово
-
Очевидно, только если p , qp,qп ,Когда q одновременно ложно,p ↓ qp\downarrow{q}п↓вопрос правда
-
п д п ↓ qp\downarrow{q}п↓д 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
Полнота двух сложных связок
- { ↑ \uparrow
↑ },{ ↓ \downarrow
↓ } — все полные наборы связок
- ¬ п \neg{p}¬ p ⇔ \Leftrightarrow⇔ п ↑ пп\uparrow{p}п↑п ⇔ \Leftrightarrow⇔ п ↓ пп\downarrow{p}п↓п
- p ∧ qp\wedge{q}п∧q ⇔ \Leftrightarrow⇔ ( п ↑ q ) ↑ ( п ↑ q ) (p\uparrow{q})\uparrow({p\uparrow{q}})( п↑д )↑( п↑д )
- п ∨ qp\vee{q}п∨q ⇔ \Leftrightarrow⇔ ( п ↓ q ) ↓ ( п ↓ q ) (p\downarrow{q})\downarrow{(p\downarrow{q})}( п↓д )↓( п↓д )
- И поскольку { ¬ , ∨ } \{\neg,\vee\}{ ¬ ,∨ } ,{ ¬ , ∧ } \{\neg,\wedge\}{ ¬ ,∧ } , являются полными множествами, поэтому справедлив вывод