DM@Пропозициональная логика@Полный набор связок

абстрактный

• $n$ -арные функции истинности иnnСоответствие между$n\; -арными\; формулами\; высказываний$
• от $n$ -арная функция истинности вводит понятие полного набора связок.
  • Это теоретически объясняет, почему только использование $\neg ,\vee ,\wedge Три$ связки могут выразить любую формулу высказывания.
  • Вы даже можете использовать меньше связок (например, 2 или 1) для описания любой пропозициональной формулы.
  • Развитые связки и несвязочные слова и /или несвязочные слова могут самостоятельно образовывать полный набор связок.

полный набор разъемов

$n$ -арная функция истинности

• Определение $Ф:\{0,1{\}}^{н}\to 0,1$ — **$n$ -арная функция истинности**

  • Функция ФФНезависимая переменная$F$$n$ пропозициональных переменных
  • Домен $\{0,1{\}}^{n\; знак}$ равно$\{0\cdots 0,0\cdots 1,\cdots ,1\cdots 1\}$ , то есть имеется$0,$Длина$1$ равна nnВсе строки$n$
  • Диапазон значений: $\{0,1\}$

• $n$ переменных предложения могут образовывать$2^{2^n}$ различныхфункций истинности(аналогnnВсего существует 2 2 n 2^{2^{n}}$для\; n$ -элементных формул высказываний.$2^{2^n}$ разных таблиц истинности)

  • Предположим, что все nnНабор функций, состоящий из всех$n-$$С\left(п\right)$
  • 函数${ж}_{}({х}_{},\cdots ,{Икс}_{})€S\left(n\right)$ в$2^{}$Имеется 2 n 2^{n}при${}^{n\; назначениях.}$$2^n$ значений функции, обозначенных как${ж}_{}\left({х}_{}\right),\cdots ,{ж}_{}\left({х}_{}\right)$
  • Аналогично, пусть функция ${ж}_{}$через $2^{}$2 n 2^{n}при${}^{n\; заданиях}$$2^n$ значений функции, обозначенных как$${ж}_{}\left({х}_{}\right),\cdots ,{ж}_{}\left({х}_{}\right)$$
  • Если существует $р€\{1,\cdots ,2^{п}\}$使得${ж}_{}\left({х}_{}\right)/"="{ж}_{}\left({х}_{}\right)$ Объясните${ж}_{},{ж}_{}$это разные функции, в остальном они одинаковы
  • 显然, $е\left({х}_{}\right)$ функция имеет только два возможных значения (0 или 1),$я"="1,\cdots ,2^n$ ;если вы укажете$f$ в$2^{}$Значение функции при присвоении${}^n$$2^{Последовательность,\; состоящая\; из\; n}$ значений функции, записывается как${й}_{}\cdots {й}_{2^{}}$( ${й}_{}€\{0,1\}$ ,$я"="1,\cdots ,2^n$ ), то$2^{2^n}$ различных последовательностей, соответствующих$2^{2^n}$ таблиц истинности (функций)

• Когда нет необходимости обсуждать конкретную функцию, а нужно только знать количество ее переменных, вы также можете обратиться к $n$ -элементная функция истинности обозначается как${Ф}^{\left(n\right)}$ , если вам нужно различать разные функции, укажите индекс:${Ф}_{я}^{(н}$

  • Например, унарная функция истинности имеет $2^{2^1}"="4$ _

    • ${Икс}_{}$	${Ф}_0^{(1}$	${Ф}_1^{(1}$	${Ф}_2^{(1}$	${Ф}_3^{(1}$
      0	0	0	1	1
      1	0	1	0	1

Соответствие между функцией истинности и формулой высказывания

• Каждая основная дизъюнктивная нормальная форма соответствует бесконечному множеству эквивалентных пропозициональных формул, и каждая пропозициональная формула имеет уникальную и эквивалентную главную дизъюнктивную нормальную форму.
• Основная конъюнктивная нормальная форма аналогична основной дизъюнктивной нормальной форме.
• Каждая функция истинности соответствует бесконечному числу эквивалентных пропозициональных формул, а каждая пропозициональная формула соответствует уникальной функции истинности.

Полный набор разъемов

• Пусть $S$ является связным множеством, если любое$п(н⩾1)$ Всеистиннозначные функциимогут состоять только изSSФормула, образованная связками в$S$ , выражается как$S$ —полный набор связок
• $С"="\{\neg ,\vee ,\wedge \}$ — полный набор связок
• доказывать:
  • любое $п(н⩾1)$ Все функции истинности могут быть выражены в виде единственной главной дизъюнктивной нормальной формы (функция истинности$\to$ (таблица значений функции переменной) таблица истинности$\to$ Основная дизъюнктивная нормальная форма)
  • Основная дизъюнктивная нормальная форма содержит только $\{\neg ,\vee ,\wedge \}$ , поэтому$С"="\{\neg ,\vee ,\wedge \}$ — полный набор связок

вывод

• Пусть $S$ — полный набор связок
  • Если это $S$ добавляет больше связок, чтобы получить${С}_{}$, то ${С}_{}$Это тоже полный комплект (включая резервирование)
    • Например: { ¬ , ∨ , ∧ , → \neg,\vee,\wedge,\to $\neg ,\vee ,\wedge ,\to$ };{ ¬ , ∨ , ∧ , → , ↔ \neg,\vee,\wedge,\to,\leftrightarrow $\neg ,\vee ,\wedge ,\to ,\leftrightarrow$ }
  • Если ССНекоторое соединительное слово c 0 c_0в$S$${с}_{}$Может быть ССДругие связки в$S$ (при условии, что они образуют SSПодмножествоS 0 S_0$из\; S$${С}_{}$) означает, что ${С}_{}$Это также полный набор соединительных элементов.
    1. ${С}_{}$= { ¬ , ∨ \neg,\vee $\neg ,\vee$ }
       • Поскольку $п\wedge q$ $\iff$ $\neg (\neg п\vee \neg д)$
    2. ${С}_{}$= { ¬ , ∧ \neg,\wedge $\neg ,\wedge$ }
       • Поскольку $п\vee q$ $\iff$ $\neg (\neg п\wedge \neg д)$
  • Если соединительный комплект $S$ может быть объединено другим соединительным множеством${С}_{}$Связка in означает сокращение $S$ может быть${С}_{}$значит, тогда ${С}_{}$Это также полный набор соединительных элементов.
    1. ${С}_{}$= { ¬ , → \neg,\to $\neg ,\to$ }
       • Учитывая $п\to q$ $\iff$ $\neg п\vee q$ и$п"="\neg \neg п$
       • 有$п\vee q$ $\iff$ $\neg \neg п\vee q$ $\iff$ $\neg п\to д$
       • Видимый ${С}_{}$Может выражать ${С}_{}$, поэтому ${С}_{}$Это также полный набор соединительных элементов.

Общие составные (расширенные) связки

и несвязывающие слова

• Пусть $п,q$ — два предложения, сложное предложение»$p$ и (союз)qqОтрицание$q$$(\neg (р\wedge q\left)\right)$называется$п,$И-НЕq$записывается$ как$п\uparrow д"="\neg (п\wedge д)$

• $\uparrow$ Даи нет союзов

• Очевидно $п,Когда\; q$ одновременно неверно,$п\uparrow вопрос$ правда

• п	д	$п\uparrow д$
  0	0	1
  0	1	1
  1	0	1
  1	1	0

или несвязывающее слово

• Сложное предложение» $p$ или (дизъюнкция)qqОтрицание$q$$п,$Не-или-формаq$обозначается$ как$п\downarrow q$ =$\neg (п\vee д)$

• $\downarrow$ названноеили несвязное слово

• Очевидно, только если $п,Когда\; q$ одновременно ложно,$п\downarrow вопрос$ правда

• п	д	$п\downarrow д$
  0	0	1
  0	1	0
  1	0	0
  1	1	0

Полнота двух сложных связок

• { ↑ \uparrow $\uparrow$ },{ ↓ \downarrow $\downarrow$ } — все полные наборы связок
  • $\neg p$ $\iff$ $п\uparrow п$ $\iff$ $п\downarrow п$
  • $п\wedge q$ $\iff$ $(п\uparrow д)\uparrow (п\uparrow д)$
  • $п\vee q$ $\iff$ $(п\downarrow д)\downarrow (п\downarrow д)$
  • И поскольку $\{\neg ,\vee \}$ ,$\{\neg ,\wedge \}$ , являются полными множествами, поэтому справедлив вывод