Ранг и ничтожность
Ранг матрицы (ранг) и нулевой степени (ничтожность) (с точки зрения линейных уравнений)
Определение:
Ранг: Минимальная линия ненулевое число строк ступил
Нулевая степень: п - ранг (А) (п есть число столбцов матрицы)
Отношения между суммой, приведенного ниже и двух линейных уравнений от нескольких аспектов
Примечание:
Снижение строки расширенной матрицы формы Эшелон \ ([\ Р & л mathbf {C} ~] \) в строке , соответствующей ненулевые основные компоненты, которые являются основным элементом 1, строка соответствует соответствующей ненулевому элементу строка 1 вектор - столбец, например в качестве основного элемента на я-й строки соответствует \ (\ VEC e_i = [0,0 , \ cdots, 1 (~ I_ {й} ~ запись), \ cdots, 0, 0] ^ {T} , \) что
Ранг \ (\ Longleftrightarrow \) вектор - столбец номер блока
дефектности \ (\ Longleftrightarrow \) , не первичный элемент , где число столбцов = п - ранг (А)
С другой стороны, основание, соответствующее ненулевой переменной строки, так что они, можно сказать, ранг = число основных переменных, например в случае, может быть получен
Ранг \ (\ Longleftrightarrow \) блок номер столбца вектор \ (\ Longleftrightarrow \) Основной вектор решения переменное число
дефектности \ (\ Longleftrightarrow \) количество неосновного элемента столбца \ (\ Longleftrightarrow \) вектор раствора в количестве свободных переменного
Имущество
Для случая линейного уравнения класса
\ (^ {O}. 1 ~ дефектность = 0 \) , то есть все основное переменные, то уравнение имеет единственное решение (единственное решение)
\ (2 ^ {O} ~ недействительность> 0 \) , есть свободная переменная, существует множество решений уравнений (бесконечное множество решений)
Theoroem 1,5
Следующие несколько условий эквивалентны
(1) линейные уравнения \ (A \ VEC х = \ VEC Ь \) является консистенция (последовательного)
(2) постоянный вектор \ (\ VEC Ь \) является вектором решения \ (\ VEC х \) линейная комбинация компонентов
(3) расширенная матрица формы Эшелон Ряд уменьшается \ ([\ Р & л mathbf {C} ~] \) последняя строка не существует \ ([0,0, \ cdots, 0, D] \) ( \ (D \ NEQ 0 \) форма)
Согласно определению, (1) с (2) эквивалентно
Доказательство (1) \ (\ Longleftrightarrow \) (3)
Пробанда (1) -> (3)
Гипотеза (3) не выполняется, то существует такая строка формы, мы можем сделать
[[0, 0, \ cdots, 0] [x_1, x_2, \ cdots, x_n] ^ {T} = 0 x_1 + 0x_2 + \ cdots + 0x_n = d \ NEQ 0]
Мы не можем прийти к вектору решения уравнения являются несовпадающими (непоследовательная) Другими словами, предпосылка противоречит предположению не имеет места, то есть, (3) установлено,
Еще одна карта (3) -> (1)
Если не существует может быть определена обратным методом подстановки \ ([\ mathbf {R} ~ с] \) решения, естественно , \ ([\ mathbf {А} ~ Ь] \) раствора, то есть (1 ) установлено