Л Гу P1829 Сбой цифровой формы Мебиус инверсия []

портал

Смысл проблем

Расчет \ (\ sum_ {I = 1 } ^ {N} \ sum_ {J = 1} ^ {т} LCM (I, J) \)

решение проблемы

\ [\ Начинаются {выровнены} Ans = \ sum_ {I = 1} ^ {N} \ sum_ {J = 1} ^ {М} LCM (I, J) & = \ sum_ {I = 1} ^ {N} \ sum_ {J = 1} ^ {М} \ гидроразрыва {IJ} {НОД (I, J)} = \ sum_ {d = 1} ^ {N} \ sum_ {I = 1} ^ {N} \ sum_ { = 1} ^ {М} [НОД (I, J) = d] \ гидроразрыва {IJ} {d} \\ & = \ sum_ {d = 1} ^ {N} \ гидроразрыва {1} {d} \ sum_ {I = 1} ^ {N} \ sum_ {J = 1} ^ {М} [НОД (I, J) = d] IJ \\\ конец {выровнены} \]

设:
\ [е (г) = \ sum_ {I = 1} ^ {N} \ sum_ {J = 1} ^ {М} [НОД (I, J) = d] IJ \\ Р (п) = \ sum_ {п | д} е (г) = \ sum_ {п | я} ^ {N} \ sum_ {п | J} ^ {М} IJ = \ sum_ {I = 1} ^ {\ гидроразрыва {N} { п}} \ sum_ {J = 1} ^ {\ гидроразрыва {М} {п}} в \ CDOT Jn = п ^ 2 \ sum_ {I = 1} ^ {\ гидроразрыва {N} {п}} \ sum_ { = 1} ^ {\ гидроразрыва {М} {п}} IJ \]
然后反演\ (е (п) \) : \
[\ {начинаются выровнены} г (п) & = \ sum_ {п | д} \ му (\ гидроразрыва {d} {N}) Р (г) = \ sum_ {п | д} \ му (\ гидроразрыва {d} {п}) д ^ 2 \ sum_ {I = 1} ^ {\ гидроразрыва {N} {d}} \ sum_ {J = 1} ^ {\ гидроразрыва {М} {d}} IJ = \ sum_ {т = 1} ^ {\ гидроразрыва {N} {п}} \ му (т) п ^ 2t ^ 2 \ sum_ {I = 1} ^ {\ гидроразрыва {N} {нт}} \ sum_ {j = 1} ^ {\ гидроразрыва {М} {нт}} IJ \\ & = п ^ 2 \ sum_ {т = 1} ^ {\ гидроразрыва {N} {п}} \ му (т) т ^ 2 \ sum_ {I = 1} ^ {\ гидроразрыва {N} {нт}} я \ sum_ {J = 1 } ^ {\ гидроразрыва {М} {нт}} J \ {конец выровнен} \]
然后代回去求\ \ (ANS) :
\ [\ Begin {выровнен} Ans = \ sum_ {п = 1} ^ {N} \ гидроразрыва {1} {п} е (п) & = \ sum_ {п = 1} ^ {N} п \ sum_ {т = 1} ^ {\ гидроразрыва { N} {п}} \ му (т) т ^ 2 \ sum_ {I = 1} ^ : {\ гидроразрыва {N} {нт}} я \ sum_ {J = 1} ^ : { \ гидроразрыва {М} {нт} } J = \ sum_ {Т = 1} ^ {N} Т \ sum_ {т | Т} \ му (т) т \ sum_ {I = 1} ^ {\ гидроразрыва {п} {T}} I \ sum_ {j = 1} ^ {\ FRAC {М.} {T}} J \ Конец {выровненный} \]
\ (G (T) = \ sum_ {T | T} , \ МУ (Т) т \) я не очень понимаю , как найти, просто знаю , что когда \ (т, Т \) , когда относительно простое, \ (G (т) \) является мультипликативной функцией, то \ (г (Т) = г (Т ) G (т) \) или \ (С (Т) = С (Т) \) .

код

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e7+10;
const int mod=20101009;
int n,m,vis[N],prime[N],cnt;
LL sum[N],f[N];

void init(int n){
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]) {prime[++cnt]=i;f[i]=(1-i+mod)%mod;}
        for(int j=1;1ll*i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) {f[i*prime[j]]=f[i];break;}
            f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]]%mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=(f[i]*i+sum[i-1])%mod;
}

int main(){
    init(1e7);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m) swap(n,m);
    LL ans=0;
    for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));
        LL temp1=1ll*(n/l+1)*(n/l)/2%mod;
        LL temp2=1ll*(m/l+1)*(m/l)/2%mod;
        ans=(ans+(sum[r]-sum[l-1]+mod)%mod*temp1%mod*temp2%mod)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}