背包问题之01背包 全详解（通俗版）

01背包是一种非常经典的动态规划问题，这里对01背包问题进行详细解读。

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01背包问题题目描述

有 $N$件物品和一个容量为 $V$的背包。第 $i$件物品的体积是 $c[i]$，价值是 $w[i]$，求将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

01背包问题解析

对于所有的动态规划问题，第一步都是确定状态。我们定义状态 $dp[i][j]$ 是表示目前正在枚举第 $i$ 个物品，目前已取的总体积为 $j$，最大价值为 $dp[i][j]$。
第二步自然是找状态转移方程。
首先我们注意一点：物品只有取和不取两种选择，这是符合我们日常生活的。状态转移方程就需要从这里为突破口来思考：
(1)：假如我们不取这个物品，那么 $dp[i][j]$ 肯定是能从上一个物品，同样体积转移过来的，所以 $dp[i][j] = dp[i - 1][j]$。
(2)：假如我们取这个物品,那么 $dp[i][j]$ 是从什么情况转移呢？思考一下，首先可以得出， $dp[i][j]$ 肯定可以从上一个物品转移过来，那可以从什么体积转移呢？我们注意到，对于 $dp[i][j]$ ，它的当前取到的体积为 $j$，由于我们取了这个物品，所以上一个物品的体积为 $j - c[i]$。所以我们可以得出， $dp[i][j]$ 可以从 $dp[i - 1][j - c[i]]$ 转移过来，由于我们取了这个物品，所以还要加上这个物品的价值 $w[i]$ 。
所以我们可以得出01背包的状态转移方程（很重要，尽量背下来！！）
$j >= c[i]$ 时， $dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - c[i]] + w[i])$
$j <c[i]$ 时， $dp[i][j] = dp[i - 1][j]$。

01背包问题代码（无优化）

01背包滚动数组空间优化

我们分析一下空间复杂度： $O(NV)$，显然较大，我们要优化一下，用什么优化呢？
我们可以用滚动数组！
观察转移方程，易得 $dp[i][j]$ 只从 $dp[i - 1][j]$ 和 $dp[i - 1][j - c[i]]$转移，所以可以用一个 $flag$代替 $i$，用 $1 - flag$ 代替 $i - 1$。

这样只需要定义 $dp[2][maxn]$ ,大大节省了空间。

01背包滚动数组优化代码

01背包空间优化

这里给大家介绍真正的空间优化。

如果我们将 $dp$ 数组只用来表示体积，那么我们可以让内层循环的 $j$ 从 $V$ 到 $0$ 枚举，那么当前状态转移方程的 $dp[j]$ 和 $dp[j - c[i]]$ 由于我们没有更新，所以仍然是计算上一轮 $i - 1$ 个物品的，就是二维状态下的 $dp[1 - flag][j]$ 和 $dp[i - flag][j - c[i]]$。所以现在我们的转移方程是：
$dp[j] = max(dp[j], dp[j - c[i]] + w[i])$

01背包空间优化代码

课后习题

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