矩阵指数函数的性质

由矩阵指数函数的定义：
$e^{At}\overset{def}{=}I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+...=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^{k}t{^k}$
可以得到以下一些基本性质:

1. $\lim_{x\rightarrow 0}e^{At}=I$

2. 令 $t$和 $\tau$为两个时间变量，则必成立：
   $e^{A(t+\tau)}=e^{At}e^{A\tau}=e^{A\tau}e^{At} \\(可由数学归纳法证明)$

3. 矩阵指数函数的逆：
   $(e^{At})^{-1}=e^{-At}\\ 证明: e^{At}e^{-At}=e^{A(t-t)}=I$

4. 矩阵指数函数 $e^{At}$对t求导为
   $\frac{d}{dt}(e^{At})=Ae^{At}=e^{At}A$
   证明:
   $\begin{aligned} \frac{d}{dt}(e^{At}) &=A+A^{2}t+\frac{1}{2!}A^{3}t^{2}+...+\frac{1}{(k-1)!}A^{k}t^{k-1}\\ &=A(I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+...\frac{1}{(k-1)!}A^{k-1}t^{k-1})=Ae^{At}\\ &=(I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+...\frac{1}{(k-1)!}A^{k-1}t^{k-1})A=e^{At}A\\ &(即矩阵A和矩阵指数函数e^{At}可交换) \end{aligned}$

5. 设有n*n维常阵 $A$和 $B$，如果 $A$和 $B$是可交换的，即 $AB=BA$，则必成立：
   $e^{(A+B)t}=e^{At}e^{Bt}=e^{Bt}e^{At}\\ (可由数学归纳法证明)$

6. 矩阵指数函数的积：
   $(e^{At})^m = e^{A(mt)} \qquad m=0,1,2,...\\ (可由性质2证明)$