微积分的本质（五）：指数函数求导

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我们在高考数学中学过指数函数的求导公式

$f(x) = a^x\\ f'(x) = a^x\ln{a}(a>0,a\neq1)$
但是这个公式是怎么来的呢？

下面进行推导：

对指数函数 $M(t)=C^{t}$求导，按照微积分的定义，有：
$\frac{dM}{dt}(t) =\frac{M(t+dt)-M(t)}{dt}\\ =\frac{C^{t+dt}-C^t}{dt}\\ =\frac{C^{t}C^{dt}-C^t}{dt}\\ =C^{t}\frac{C^{dt}-1}{dt}$
其中，无论 $C$取什么值， $\frac{C^{dt}-1}{dt}$ 都会非常接近一个常数 $k$，尽管我们现在还不知道这个常数是什么，但我们仍然可以将指数函数的导数写成以下公式：
$\frac{dM}{dt}(t) =kC^{t}$

能否找到一个常数 $C$，使得 $k=1$，使这个指数函数的导数，恰好是这个指数函数本身呢？

接下来引入自然对数 $e$，使得以 $e$为底的指数函数 $M(t)=e^t$的导数，恰好是它本身，即：
$M(t)=\frac{dM}{dt}(t)=e^t$

（PS：自然对数 $e$就是这么定义的。）

根据指数和对数的性质可知：
$C=e^{\ln{C}}$
则
$C^t=e^{t\ln{C}}（公式1）$
根据复合函数链式求导法则，结合上述对指数函数 $M(t)=e^t$的导数为其本身这一性质，有
$\frac{d(e^{Ct})}{dt}=Ce^{Ct}（公式2）$
根据公式1和公式2，有
$\frac{dM}{dt}(t) =\frac{d(C^t)}{dt}\\ =\frac{d(e^{t\ln{C}})}{dt}\\ =\ln{C}e^{t\ln{C}}\\ =\ln{C}(e^{\ln{C}})^t\\ =C^t\ln{C}$
综上，指数函数 $M(t)=C^{t}$的导数为
$\frac{dM}{dt}(t)=C^t\ln{C}$
参考资料： 【官方双语】微积分的本质 - 05 - 指数函数求导.