微积分（五）——函数、极限与连续

前言

本笔记不涉及基础知识，重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多，不定时更新。且为了提高效率，用表线性梳理的形式代替思维导图，望谅解。

如有缺漏错误，欢迎补充指正！

函数

这一节对函数的考察十分有限，包括有界性、奇偶性、周期性和复合函数。

• 有界性通常需要利用定义求解，与极限结合。
• 奇偶性包括函数求导、求积以及两函数之积之和的奇偶性
• 周期性一般与定积分联系
• 复合函数把握好自变量定义域

极限

（一）函数极限

1）函数极限的求解方法

1. 四则运算求解
2. 基本极限求解
3. 等价无穷小替换
4. 洛必达法则
5. 佩亚诺余项泰勒公式
6. 夹逼准则

2）函数极限的类型

• 第一梯队： $\frac{0}{0}$
• 第二梯队： $\frac{\infty}{\infty}$
• 第三梯队： $0·{\infty}$、 ${\infty}-{\infty}$
• 第四梯队： $1^{\infty}$、 $0^0$、 ${\infty}^0$

函数极限类型所在梯队越高，可以求极限的方法就越多。

• 第一梯队可以使用上述的所有求解方法。
• 第二梯队还可以用洛必达法则，但等价无穷小和泰勒公式不适用；
• 第三梯队一般需要通过取倒数或同乘表达式来化为第一梯队类型；
• 第四梯队的方法也很固定，取对数和利用重要极限 $\lim\limits_{x\to0}(1+{\frac{1}{x}})^{x}$,逐渐化为更上层的梯队进行求解。

3）由已知极限求参数

• 类型与函数极限的类型相同，考察极限的化简以及哪些项会影响函数的极限值。
• 带有 $|x|$、 $e^{\frac{1}{x}}$的情况注意极限的定义，可以从坐标的两边趋近该点的极限。

4）已知极限求另一极限

• 利用现有的极限凑出所要求的极限，或极限的一部分。再进行求解。

5）无穷小的比较

• 将无穷小都化为 $ax^k$的等价无穷小或同阶无穷小的形式，逐个比较。
• 常利用泰勒公式，泰勒公式求解在大多数极限时直接的不讲道理。

（二）数列极限

1）数列极限的求解方法

1. 夹逼准则
2. 积分和式求极限
3. 单调有界原理

2）数列极限的类型

1. n项和或n个因式的积的数列的极限 ------ 尝试夹逼准则或者积分和式
2. 递推形式给出的数列的极限 ------ 首先证明单调有界，若无法证明尝试夹逼准则
3. 以数列极限定义的函数的表达式 ------ 夹逼准则

（三）极限运算定理

写几个常用但不直观的定理：

• $\lim\limits_{x\to{x_0}}u(x)$与 $\lim\limits_{x\to{x_0}}v(x)$都不存在，那么 $\lim\limits_{x\to{x_0}}u(x)+v(x)$和 $\lim\limits_{x\to{x_0}}u(x)-v(x)$要么都不存在，要不只能存在其中一个。
• 设 $\lim\limits_{x\to{x_0}}g(x) = {u_0}$， $\lim\limits_{u\to{u_0}}f(u) = A$,不可以推出 $\lim\limits_{x\to{x_0}}f(g(x)) = A$。因为在 $x_0$的去心邻域内，有可能 $g(x) = {u_0}$。

连续

• 讨论函数的连续
• 讨论函数的间断点类型
• 由函数的连续条件求参数