函数 极限 连续 --- 学习笔记

等阶无穷小：

当 x→0时，sin x ~ x , tan x ~ x , 1 - cos x ~ x²/2 , e^x - 1 ~ x , ln(1 + x) ~ x , (1 + x)^a - 1 ~ ax ,
arcsin x ~ x , arctan x ~ x , a^x - 1 ~ x lna(a > 0 , a ≠ 1) , x^m + x^k ~ x^m(常数 k > m > 0).

利用积分和式求极限的公式：

设 f(x) 在 [0, 1] 上连续，

$$u_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(\frac{i}{n}) \ \ 或 \ \ u_n = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} f(\frac{i}{n})$$
，则
$$\lim_{n \to \infty}u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f (\frac{i}{n}) \ \ (\ 或\ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f (\frac{i}{n})) = \int_{0}^{1} f(x) dx$$