知识结构

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函数

求分段函数的复合函数显式表达式：引入中间变量，由外层函数定义域的各区间段，通过中间变量去得到自变量x的对应范围，进而确定出中间变量的具体表达式以得到复合函数。

分段函数式微积分学中常涉及的非初等函数类，这类函数的形式除了明显的分段表示外，较常见的还有：绝对值函数，取整函数，最值函数，以及由极限形式给出的函数，在研究这类函数的极限以及连续性、可导性、积分性质式，要特别注意分段点的特殊性。

若待定函数及其复合形式包含在一个代数方程中，通常可作变量代换得到关联方程，再解方程组求出待定的系数。当做变量代换得不到能有效解出关联方程时，将递推关系式视为方程组（无穷个），求解时（依次代入）使用极限的方法处理。

判定函数性质时，依据需要判定的性质列方程求解出函数隐式表达式，再讨论即可。

极限

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初等变形法

用初等函数、变量代换、恒等变形等方法将极限式化简，再由极限的四则运算、复合运算法求出极限。

利用极限存在的两个原理计算

夹逼原理常用于求数列极限中无穷和的极限问题，若和的各项为分式，且各分母不同但为等价无穷大，则可通过各项分母的保持等价性放缩以形成公分母，达到通分化简的效果，再用夹逼原理求极限。
若数列由递推公式Xn = f(Xn-1)给出，而方程X = f(X)有根x = a（称a为f(X)的不动点），用夹逼定理证明极限更加便捷。
如果一个和式的各项均为分式，且分母中极限变量的最高次幂的系数相同，则可以任意改变分母中除最高次幂项以外的其他项的系数而不会改变和的极限，使用夹逼定理会很简洁。

单调有界原理多用于求递推关系式给出的数列极限。
证明有界性的常用方法有：从数列的递推关系式观察；用已知不等式推出；用归纳法证明；利用单调性证明；由递推式的有界性的到。
证明单调性的常用方法有：比值法；差值法；由递推式单调性得到；数学归纳法。
数列Xn = f(Xn-1)的单调性与有界性都取决于函数f(X)的形态，在某个范围内，如果X > f(X)，则数列单调递减；如果X < f(X)，则数列单调递增。