微积分（四）——多元函数微分总结

前言

本笔记不涉及基础知识，重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多，不定时更新。且为了提高效率，用表线性梳理的形式代替思维导图，望谅解。

如有缺漏错误，欢迎补充指正！

多元函数微分学

出题角度大概分为三个类型：

1. 对多元函数微分各个概念的掌握
2. 对多元微分计算的掌握
3. 极值与最值

(一)概念掌握

与一元函数微分学相同，学习多元函数微分学将沿着函数→极限→连续→偏导数→可导性→可微性脉络进行学习。出题角度也是从这里面挑一个到多个进行考察。

既然是考查对概念的掌握，所以多为存在性题目，考察的点也多为零点，需要利用各概念的定义进行求解。

1）讨论二重极限

极限形式全部是分数形式，对，我还没有遇到其它形式。但是，有时候（比如判断可微时），可自己构造简单的二元函数，对选项进行排除。

计算二重极限的思路：

1. 首先判断二重极限是否存在，利用不同路径判断极限不同或不存在。
2. 若判断出不存在，结束。如果第一步不能判断出不存在，继续求解。
3. 有界变量和无穷小量之积为无穷小量。
4. 夹逼原理，利用基本不等式和带有绝对值的基本不等式放缩。
5. 转化或看作一元函数极限，利用一元函数极限方法求解。

2）讨论二元函数连续性

讨论某一点（95%为零点）连续性，利用定义，即二重极限在该否存在且等于该点的函数值和求解二重极限，即可解出。

3）讨论二元函数偏导数

讨论某一点（95%为零点）对于x，y的偏导数是否存在，利用定义，求解一元函数极限，即可解出。

讨论某一点的偏导数是否连续，求出偏导，再讨论偏导数的连续性。

4）讨论二元函数可导性

可导性和偏导数联系紧密，判断可导即判断两个一阶偏导数是否存在。

另外，在多元函数中，可导不一定连续，连续不一定可导，与一元函数中“可导一定连续，连续不一定可导”有差别。

连续定义中的极限为二重极限，即x,y可以从任意方向逼近所要求的点。而可导的定义只要求了对x的偏导和对y的偏导，在其它方向没有要求，所以可导不一定连续。

对于“连续不一定可导”可参照一元函数的方法，将z = |x|视为二元函数，在（0,0）处，对x的偏导不存在，z在（0,0）处不可导。z在（0,0）处的二重极限为0，函数值为0，z在(0,0)处连续。

5）讨论二元函数可微性

可微性是概念中较难重点的一部分，讨论多元函数的可微性，有必要条件、充分条件，但是没有充要条件。讨论可微性主要靠多元函数可微的定义。
必要条件： 两个一阶偏导数在（x,y）处存在。
充要条件： 两个一阶偏导数（x,y）处连续。
定义：

（二）多元函数微分计算

1）具体复合导数

• 偏导数就把多元函数看作一元函数求解。
• 如果是特定点的高阶偏导，可以在适当的阶段带入非微分变量具体值，简化计算。
• 同一函数的两个混合偏导数如果在点(x,y)都连续，那么混合偏导数相等。这是一个很常用的结论，经常在全微分证明题中使用。
• 在全微分中，可以用第三点求解待定系数。

2）由偏导数或微分求原函数

• 逐步求积分，结合题中所给的条件求解。
• 唯一需要注意的一点是求积分时，如果对y求积分，积分后的常数项应为φ(x)。

3）抽象多元函数

• 间接变量和直接变量直接给出的情况，分析变量之间的关系，画出树形图，利用树形图和链式法则求偏导。
• 间接变量和直接变量没有直接给出的情况，分析各变量之间的关系，必要时交换直接和间接变量或改写原函数中的u,v。一般来说，如果偏导数中对ξ,η变量进行微分，ξ,η应是树形图中的叶节点。
• 因为是抽象微分，常常与微分方程相联系。
• 抽象利用求偏微分公式，与题目中提供的条件一起，证明某些结论(难点)。

4）多元隐函数

如果F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，多元函数类似。

隐函数求偏导主要有以下三种方式：

1. 利用隐函数求导公式（简洁但容易漏变量之间的关系，只适用于 ${F(x,y,z) = 0}$形式，且求解形式不涉及第4个变量，比如 $\frac{dy}{dx}$、 $\frac{dz}{dx}$)
2. 方程两段求导，解出所求偏导数（同上，适用于 ${u = f(x,y,z)}$和 ${F(x,y,z) = 0}$形式,求解形式一般涉及等号左边的变量，比如 $\frac{du}{dx}$）
3. 利用微分形式不变性，方程两端微分（相对麻烦但不容易漏掉条件，适用于 ${u = f(x,y,z)}$和 ${F(x,y,z) = 0}$形式.,求解形式一般涉及等号左边的变量，比如 $\frac{du}{dx}$）

使用哪一种方式与搞清楚各变量是否相关相比显得不是很重要。

1. 如果一个等式中只涉及两个变量，那么必定相关。比如 ${f(x,y) = 0}$, ${f}$对 $x$求导为 $f$ $_{1}^{'}+f_{2}^{'}\frac{dx}{dy}$.
2. 同理，涉及三个变量的两个等式，可以确定任意变量对其它变量的一元函数。
3. 如果变量和等式继续增多，一般性方法便是画复合函数中的树形图，帮助理解。
4. 在抽象函数中，变量之间是否相关同样取决于题目中所要求的量。比如函数x+y+z+u = 0，如果题目中给的是 ${u = f(x,y,z)}$，求 $du$,那么x,y,z就没有相关关系，u分别与x,y,z有相关关系；如果题目中给的是 ${z = f(x,y,u)}$，求 $dz$，这种情况下x,y,u就没有相关关系，z分别与x,y,z有相关关系。

（三）极值与最值

1）求解无条件极值

求多元函数无条件极值的步骤比较固定，且函数为二元函数且类似 $z= z(x,y),z =f(x,y)$形式，可能为复合函数或隐函数。

以 $z=f(x,y)$为例

1. 令 $f_{x}^{'} = 0,f_{y}^{'} = 0$,求得所有驻点
2. 对每个驻点求出二阶偏导数 $A = f_{xx}^{''} ,B = f_{xy}^{''} ,C = f_{yy}^{''}$
3. 利用极值的充分条件，通过 $AC-B^2$的正负和 $A$的正负判断驻点是否为极值（只适用于二元函数）
4. 如果 $AC-B^2=0$,则利用极值的定义判断是否为极值

2）判断特定点是否为极值点

这种题型涉及极限和多元极值的定义，利用极限可构造 $f(x,y) = 表达式 + o(p)$形式，帮助判断。

3）条件极值最值问题（拉格朗日乘数法) (重点）

a. 直接求条件最值

利用拉格朗日乘数法

b. 解析几何直接求条件最值

1. 求出所有可能极值点（驻点和一阶偏导不存在的点）的函数值
2. 求出有界闭区域边界上的最值
3. 第一步第二步的所有值进行比较，最大的值即为最大值，最小即为最小值

c. 条件极值应用题(多为解析几何问题)

确定目标函数，将题目中的条件与最值上靠，只要建立起函数与条件函数，接下来就是用拉格朗日乘数法求最值。如果解只有一个，并且问题本身允许极值存在，那么所求最值就在这个唯一可能取得极值的点上取得。

d. 条件极值证明题(最灵活、最难）

利用拉格朗日乘数法证明不等式，难点在于证明不等式有多种方法，思考的时候不会一开始就想到条件极值。另外就是目标函数和条件函数也需自己构造。

关于条件极值的应用题和证明题还比较生疏，包括上一节常微分方程的应用题，需要进行专题复习。