6. 多元函数积分学
6.1 计算二重积分
题型: 如题
- 画出草图, 首先看有没有对称性, 有没有奇偶性, 先化简
- 确定积分的坐标系
- 确定积分的积分次序
- 确定积分的上下限
李王全书: P191.例1,2,4,5,6,7,8,9,11,13,
6.2 累次积分交换次序及计算
题型: 如题
- 由所给累次积分确定对应的积分域
- 画出积分域草图
- 按另一种积分次序确定积分上下限
有的时候也需要换坐标系
李王全书: P200.例14,15,17
6.3 与二重积分有关的积分不等式问题
题型: 涉及到二重积分有关的一些积分不等式问题
- 如果不等式的一端是两个定积分的乘积这样的形式, 一般是酱其中一个定积分中积分变量x改写成y
- 需要掌握一些基本的不等式
李王全书: P205.例25,26,27
6.4 计算三重积分
题型: 如题
- 如果可以利用对称性和奇偶性那么就要利用
- 选择合适的坐标系(直角坐标系, 柱坐标系, 球坐标系)等
- 化为累次积分进行计算
李王全书: P208. 例28,29,30,31,32
6.5 三重积分的累次积分
题型: 如题
李王全书: P211.例36
6.6 对弧长的线积分
题型: 对弧长的积分
- 如果可以利用对称性和奇偶性那么就要利用
- 参数方程直接计算
- 直角坐标系方程直接计算
- 极坐标方程直接计算
李王全书: P215.例38,39,41,42,
6.7 对坐标的线积分
题型: 对坐标的积分
- 如果积分曲线封闭, 考虑使用格林公式
- 不封闭时如果可以与路径无关, 那么可以自己定义路径然后计算, 或者找到原函数后进行计算
- 如果方便就用直接法计算
- 如果不方便就补线后用格林公式
- 如果使用格林公式的定义域包含无定义点那么就要自己构造一个半径为无穷小的圆来将这个点包起来
- 有时候需要将第二类线积分转化为第一类线积分的方式才能进行求解
李王全书: P217.例43,44,45,46,47,48,49,51,52,54
6.8 对面积的面积分
题型: 如题
- 如果可以利用对称性和奇偶性那么就要利用
- 使用直接法进行计算
- 有时可以使用形心公式
李王全书: P229. 例55,56,57,58
6.9 对坐标的面积分
题型: 如题
- 首先看积分曲面是否封闭,如果封闭的话可以用高斯公式计算
- 如果不封闭, 就看直接法计算方不方便
- 最后考虑用补面的方法
- 还可以利用第一类面积分与第二类面积分之间的关系将二者互相转化
李王全书: P231.例59,61,62,63,65,67,68
6.10 场论初步
题型: 计算梯度, 通量, 散度, 旋度
按照计算公式计算即可
李王全书: P237.例69,70,71
6.11 多元积分的应用
题型: 用重积分, 曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形面积, 体积, 曲面面积, 弧长, 质量, 质心, 转动惯量, 引力, 功及流量).