微积分(七)——一元函数积分学

前言

本笔记不涉及基础知识，重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多，不定时更新。且为了提高效率，用表线性梳理的形式代替思维导图，望谅解。

如有缺漏错误，欢迎补充指正！

一元函数积分学

一元函数积分学整体难度比导数和函数高，技巧和类别也很多，在这里进行逐一整理和总结。

1）积分的计算(方法)

这部分分为两个相叠加的大类，第一类为方法，第二类为技巧。

a. 积分基本公式

对，就是常用的那不到20个公式，一定要掌握熟练。可能有那么几个老师记不清楚，需要多做练习进行记忆，或者正推倒推多来几遍。

b. 第一类换元法

利用一阶微分形式不变性，进行"凑微分"。

c. 第二类换元法

①不定积分条件

若使$x=\phi (t)$，则$\phi (t)$应单调、连续，并且${\phi }^{{}^{\prime }}(t)$连续，且${\phi }^{{}^{\prime }}(t)\ne 0$。

②定积分条件

$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$x=\phi (t)$满足条件：$\phi (t)$应单调、连续，并且${\phi }^{{}^{\prime }}(t)$连续；$a=\phi (\alpha ),b=\phi (\beta )$；$\phi (t)$的值域包含$a,b$；
则有：
${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{{}^{\prime }}(t)dt$

③应用场景----无理式积分

无理式积分中又分为三种类型：

1. $\sqrt{a^2-x^2},\sqrt{x^2-a^2},\sqrt{x^2+a^2}$类型，进行三角代换($x=asint,asect,atant$)。
2. $\sqrt[m]{ax+b},\sqrt[n]{ax+b}$ 类型，令$x=\sqrt[mn]{ax+b}$
3. $\sqrt[m]{\frac{ax+b}{cx+d}}$类型，令$x=\sqrt[m]{\frac{ax+b}{cx+d}}$

还有两种不太常用的类型：

1. 三角函数万能公式（基本不能用，计算很复杂）
2. 倒数代换（有时可代替三角代换，在某些有理分式中有效）

d. 分部积分法

• 掌握分部积分法的公式，被积函数被分割成两部分，一部分转化为其原函数，一部分转化为导数。
• 分部积分通常解不同类型函数相乘的被积函数。
• 分部积分同样可以解相同类型函数相乘的被积函数。

e. 其余常用的方法

• 定积分上下限的奇偶性。
• 被积函数为周期函数的积分。
• 华里士公式。

2）不定积分的计算(技巧)

在实际出题方面，积分按类型分类，一般的题型是以下基础类型的一种，复杂的题目可能融合多种类型，需要依次拆分求解。

a. 简单有理式分式的积分

特征就是含分子与分母的分式，且只由幂函数构成，解题方法按照有理式的类型也分为多种(感觉积分这一章如果画思维导图就是m叉树上有m叉树，哇的一声哭了出来)。

1. 如果可以进行因式分解，进行因式分解。这类题的第一步就是进行化简，如果不化简，直接用上面的解题方法刚，很难刚出来。因式分解的方法就不列举了。
2. 如果不可以进行因式分解，尝试是否可以“凑微分”。方法包括不限于将分母凑成$a^2\pm x^2$形式；通过将分子被积函数分解为和式，分子的原函数恰好是分母，或凑成可用基本积分公式解的被积函数；
3. 如果次数过高且无法进行因式分解，且有$a^2\pm x^2$形式，考虑进行三角函数代换。
4. 使用分部积分法，即同类型函数的分部积分。

b. 三角函数有理分式的积分

三角函数也是一个小难点，难就难在很简单的分式也可能积不出来，必须约分。就比如分式$\frac{1}{sinx+cosx}$,需要用到辅助角公式来求解。

遇到三角函数往往从以下几点入手：

• 分式的分母一定要化简，化成单项式或者与分子通分。
• 对被积函数的项进行降次
• 分子分母能约分就约分，约分过程中往往需要“凑约分”，或者凑分子的原函数与分母的关系。
• “无中生1”：$1=si{n}^{2}x+co{s}^{2}x$
• 熟练运用常用的三角代换，以及基本三角函数的导数与原函数。
• 辅助角公式：$asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+\theta )$，$\theta =arctan\frac{b}{a}$
• 万能代换能不用就不用，考研至今未出过非要用它才能解出的题。
• 变量代换$t=\pi \pm x$，在某些被积函数中也是化简的一种方法。

c. 简单无理式的积分

• 对于无理式，最常用的方法便是上面提到的无理式积分的应用场景。
• 有时候三角代换不容易看出，比如$\sqrt{ax\pm b{x}^2}$的情况，需要先配方，再使用代换。
• 其次，便是使用分部积分，在两个相同类型函数相乘的情形。比如2019年的数学一就出过类似题目。

d. 使用分部积分法处理的积分

使用分部积分法处理的积分，最多的是复合被积函数的积分，被积函数分为四类（基本积分函数(包括积分式)、有理式、三角函数、无理式）。在这个阶段，复合到两种就已经是极限了，在这个阶段还没见过三种的。

• 最简单的就是基本积分函数内部的几种组合：幂函数×指数函数、幂函数×三角函数，此时$u$一般取幂函数；幂函数×对数函数、幂函数×反函数，此时$u$一般不取幂函数；指数函数×三角函数，此时$u$取哪个都可以，只是需要连取两次才能解出。这其中的原理在于某个类型的原函数或者导数是否容易求解积分。 这五种基本函数类型，有10种组合，但是我只列举了五种，为什么呢？因为其它的组合现在我们学的知识还不能解出，比如指数函数×反函数,像$\int e^{x}arcsinxdx$,就解不出来。这也是为什么积分比较难, 一个个看似解不出的被积函数，我们的前辈运用智慧把不可能变为可能。
• 比上面的难一点，便是给被积函数“套个马甲”，比如 $\int e^{2x}arctan\sqrt{e^x-1}dx$，看似幂函数×反函数 不能求解。但是，$e^x$就是一个马甲，使$m=e^x$，再使$t=\sqrt{m-1}$，便转化成了幂函数×反函数的形式。
• 有理式×基本积分函数，解题思路为先将有理式进行化简，化简后的有理式当作$v$进行分部积分。有理式出现的最多，是因为有理分式大多数可以求积。
• 组合的肯定还有其他类型，因为刷题数量的限制，就先不列举。但化简、分部积分的基本思路应该是没问题的。
• 难度最高的相同类型分部积分问题，最常见的为幂函数×无理式×有理分式组合(出现两种)。这个问题它难就难在$u$或$v$可选的函数有点多，需要对分部积分整个过程看透（就像下象棋，走一步，看两三步那种感觉）。比如2019年数学一${\int }_0^1{x}^n\sqrt{1-x^2}dx$，遇见$\sqrt{1-x^2}$第一感觉就是使用三角代换，这个题确实也可以利用华里士公式求解，并且还挺简单。但是大纲中并没有提到过华里士公式，这里我们还可以考虑第二种方法，使用分部积分求解。把$\sqrt{1-x^2}$看作$v$，同样可以解出递推公式。
• 其实还有很多没有列举到的类型，总之分部积分法很灵活，需要多做题寻找感觉。

e. 积分式、抽象函数的积分

这类题就是被积函数看着怪，其实很简单。积分式可以当作$u$进行求导，抽象函数的积分求导只需要加减一个${}^{\prime }$。注意利用题中所给的条件，求解即可。

3）定积分的计算(技巧)

定积分与不定积分，有区别也有联系。联系是，计算不定积分方法，基本都可以来计算定积分，使用第二类换元法是需要注意换元后的绝对值问题，因为这在不定积分中是不考虑的。区别是，定积分因为含有奇偶性和周期性，计算起来更灵活，一些在不定积分中无法求解的被积函数，在定积分中可以求解。

• 对称区间上的定积分${\int }_{-a}^{a}f(x)dx$，被积函数形式常为幂函数×三角函数分式，比如${\int }_{-a}^a\frac{x}{1+sinx}dx$,不定积分的计算技巧全部失效，但是却可以将定积分拆为${\int }_{-a}^{0}f(x)dx$和${\int }_0^{a}f(x)dx$,再对第一部分换元$t=-x$再对相同上下限的两部分进行加和，解出。
• 被积函数为周期函数的定积分，${\int }_a^{a+T}f(x)dx=$${\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx$,并且可以继续利用奇偶性。
• 一个重要的第二类换元变换$x=\pi -t$，一是因为可以调整积分上下限，二是因为$sin(\pi -t)=sint,cos(\pi -t)=-cost$，某些情况下可用于求解积分。
• 带有绝对值的定积分，基本思路为去绝对值，有理式去绝对值就是分段讨论，三角函数去绝对值就是对$[k\pi ,k\pi +\pi ]$或$[k\pi -\frac{\pi }{2},k\pi +\frac{\pi }{2}]$去绝对值后的正负性进行讨论。

4）反常积分

从反常积分( 属于定积分 )开始，到之后的定积分的应用和定积分的证明，已经脱离了计算为主体，转而关注于知识综合的掌握，所以难度和灵活性也会相应的增加。

反常积分常见题型：

1. 反常积分的计算，其实本质就是对于一或两个端点在求出不定积分后取极限。可以分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。计算时注意被积函数极限不存在的点就好。
2. 一个重要的反常积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}=\sqrt{\pi }$
3. 带两个参数的反常积分敛散性判别：我认为难度非常高，只在考研数学一出现过。解题的过程较繁琐固定，复习全书有定理辅助做题，在这里不展开了。
4. 带一个参数的反常积分敛散性判别：正常计算，或考虑夹逼准则。

5）定积分的应用

这一部分的核心思想就是**“微元法”**。重点是建立适当的坐标系，可能需要对图形进行一定的旋转或位移，建立微元，积分求解。

a. 几何应用

几何应用的微元一般都容易看出，比如面积、周长这些。
需要注意的几个点：

• 旋转曲面面积因为涉及到曲面，所以积分微元是弧长。
• 几何应用的难度要增加的话，难点常常还是在定积分的计算方面，比如分部积分、带有绝对值的积分等。

b. 物理应用

• 物理应用的第一关就是要充分理解题意。
• 对常用的公式和物理量要掌握(大纲中要求的)。

6）定积分的证明

这部分的证明题与一元函数微分学的证明题联系紧密。

a. 讨论变限积分的属性

• 一般的题型为抽象函数，且为选择题，两种思路。
• 第一种是正常讨论，有绝对值先去绝对值，没有绝对值利用积分中值定理或套积分号讨论。
• 第二种是将抽象函数代换为具体函数。

b. 由积分定义的函数求极限

尝试利用夹逼定理求解。

c. 积分不等式的证明

• 使用微分学的方法求解（其中的函数构造方法特别常用）。
• 在上下限相同的情况下，利用若被积函数$f(x)>=g(x)$,那么$f(x)$的积分大于等于$g(x)$的积分。
• 如果存在积分区间不相同的情况，可以通过变量代换转化为积分区间相同。
• 如果存在一个式子含有积分号，一个式子不含积分号，可以利用积分性质，让它们都没有或者都有。

d. 带有积分的零点问题

和微分学零点问题思路相同。