《微积分：一元函数微分学》——泰勒公式

其他 2020-01-29 11:59:18 阅读次数: 0

定理

(1) 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式

设 f(x) 在点 x0 的某个邻域内 n+1 阶导数存在，则对该邻域内的任意点 x ，有

\\\\f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdot\cdot\cdot+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+\frac{f^{(n+1)}(\varepsilon )}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}\\\\\varepsilon \in (x,x_{0})

(2) 带佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式

设 f(x) 在点 x0 处 n 阶导数存在，则存在 x0 的一个邻域，对于该邻域中的任一个点，有

\\\\f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdot\cdot\cdot+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+o((x-x_{0})^{n})

(注：x0=0 时的泰勒公式称为麦克劳林公式)

 

重要函数的麦克劳林展开式

e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdot\cdot\cdot+\frac{x^{n}}{n!}+o(x^{n})

sinx=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})

cosx=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})

\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdot\cdot\cdot+x^{n}+o(x^{n})\quad |x|<1

\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n}x^{n}+o(x^{n})\quad |x|<1

ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n})

(1+x)^{a}=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^{2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{a(a-1)\cdot\cdot\cdot(a-n+1)}{n!}x^{n}+o(x^{n})

 

Enjoy_process
发布了864 篇原创文章 · 获赞 253 · 访问量 26万+
他的留言板 关注

猜你喜欢

转载自blog.csdn.net/SongBai1997/article/details/98887784
今日推荐
TIOBE 5 月榜单：Fortran “复活”进入 Top 10
GCC 14.1 发布
面壁智能发布 Eurux-8x22B 开源大模型 —— 堪称「理科状元」
开源日报 | 谷歌扶持鸿蒙上位；开源Rabbit R1；Docker加持的安卓手机；微软的焦虑和野心；海尔电器把开放平台关了
中国码农的“35岁魔咒”
蘭雅 CorelDRAW 插件 2024.5.1 国际劳动节版，免费下载
Arc Browser for Windows 1.0 正式 GA
90后程序员开发视频搬运软件、不到一年获利超 700 万，结局很刑！
周排行
基本数据类型封装类比较 Java源码解读(一) 8种基本类型对应的封装类型
JS实现无缝滚动上
深入解析HashMap原理（基于JDK1.8）
mysql的连接池
关于.htc
linux下的ubuntu12.04图形界面
【数论】好推不好记的扩展欧几里德
设备树详解
cscope + tags 简单设置
xml学习
每日归档
更多
2024-05-09(35)
2024-05-08(42)
2024-05-07(14)
2024-05-06(40)
2024-05-05(0)
2024-05-04(7)
2024-05-03(19)
2024-05-02(0)
2024-05-01(4)
2024-04-30(1)

代码天地 © 2018 codetd.com

境外服务器   最新电视剧2022