用Python学《微积分B》（多元微分学的几何应用）

多元函数微分学的几何应用主要是讲述空间向量与微分学的融合，包括：空间曲线的切线和空间曲面的切平面。如果将本文和之前的“空间向量”一文结合起来看，你会发现多元函数微分学与空间向量结合后的神奇。

一、空间曲线的切线

1，空间曲线的参数方程
在“空间向量”一文中提到：空间曲线可以看作是两个空间曲面的交线，可以用一个方程组来描述

{F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0

$\left\{\begin{matrix} F(x,y,z) = 0\\ G(x,y,z) = 0 \end{matrix}\right.$
也可以用参数方程来描述

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x = x (t) y = y (t) z = z (t)

$\left\{\begin{matrix} x = x(t) \\ y =y(t) \\ z = z(t) \end{matrix}\right.$
细思一下，用方程组描述表示“交线”，这个比较容易理解，那么为什么能用一元的参数方程组来描述呢？
事实上，可以用普通方程通过如下方式推导出参数方程
先假设存在

x=x(t) $x = x(t)$ ，代入那个普通方程组，可以用消元法，分别解出

{y = y (t) z = z (t)

$\left\{\begin{matrix} y =y(t) \\ z = z(t) \end{matrix}\right.$
2，参数方程的切线
一元函数的导数在几何上表示平面曲线在某点的切线的斜率，反过来推广，空间曲线的切线斜率也可以用导数来表示。现在来看空间曲线的切线，它同样可以表示为割线的极限，而割线则表示两点间的连线，很容易用向量来表示，如下

τ ⃗ = lim M \to M 0 M M 0 \to = lim t \to t 0 (x ( t ) - x ( t 0 ) t - t 0, y ( t ) - y ( t 0 ) t - t 0, z ( t ) - z ( t 0 ) t - t 0)

$\vec{\tau} = \lim_{M \to M_0} \vec{MM_0} = \lim_{t \to t_0}(\frac{x(t)-x(t_0)}{t - t_0}, \frac{y(t)-y(t_0)}{t - t_0}, \frac{z(t)-z(t_0)}{t - t_0})$
观察上式，在各个分量上等于参数方程的导数，即

τ ⃗ = (x' (t), y' (t), z' (t))

$\vec{\tau} = (x'(t), y'(t), z'(t))$
这就是空间曲线的切线的斜率（向量）。有了斜率，切线的方程可以用“点斜式”（点向式）表示为

x ( t ) - x ( t 0 ) x ' ( t ) = y ( t ) - y ( t 0 ) y ' ( t ) = z ( t ) - z ( t 0 ) z ' ( t )

$\frac{x(t)-x(t_0)}{x'(t)}=\frac{y(t)-y(t_0)}{y'(t)}=\frac{z(t)-z(t_0)}{z'(t)}$
如果令上式等于

λ $\lambda$ ，就可以写成切线的参数方程。此外，知道了切线方程，通过平面“点法式”，也可以构造出它的法平面方程。
3，空间曲线的一般方程
上面是从空间曲线的参数方程来推导它的切线方程，如果已知的是空间曲线的一般方程呢？要怎样才能求出它的切线方程？
答案是：隐函数方程组求导。具体如下
对方程组中各个方程两边分别对 x 求导

{F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0

$\left\{\begin{matrix} F(x,y,z) = 0\\ G(x,y,z) = 0 \end{matrix}\right.$
解出

dydx,dzdx $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$
那么，切线的斜率向量为

(1, d y d x, d z d x)

$(1,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x})$

二、空间曲面的切平面

1，空间曲面与空间直线
1）空间曲面的方程

F (x, y, z) = 0

$F(x,y,z) = 0$
上式是隐函数形式，下面再给出一般形式

z = f (x, y)

$z = f(x,y)$
2）切平面
二元函数

z=f(x,y) $z = f(x,y)$ 的偏导数

fx $f_x$ 相当于空间曲面

F(x,y,z)=0 $F(x,y,z) = 0$ 与平面

y=y0 $y = y_0$ 的交线的斜率，这个交线

lxz $l_{xz}$ 既位于空间曲面

F(x,y,z)=0 $F(x,y,z) = 0$ 上，也位于平面

y=y0 $y = y_0$ 上。类似地，也可以得到另一条交线

lyz $l_{yz}$ ，它与

lxz $l_{xz}$ 相交与点

(x0,y0,z0) $(x_0,y_0,z_0)$ 。很显然，两条相交的空间直线（注意不是空间曲线）必定位于同一个平面。
换句话说，空间直线 $l_{xz}$ 与 $l_{yz}$ 确定的平面就是空间曲面 $F(x,y,z) = 0$ 的切平面。
这个平面的法向量为

n ⃗ = l x z \to \times l y z \to

$\vec{n} = \vec{l_{xz}} \times \vec{l_{yz}}$
2，法向量与梯度
仔细想想，上面那个法向量既是切平面的法向量，也是空间曲面在点

M0(x0,y0,z0) $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 的梯度向量。故有

n ⃗ = (F x, F y, F z)

$\vec{n} = (F_x, F_y, F_z)$
根据平面“点法式”方程可得切平面的方程为

F x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + F y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0) + F z (x 0, y 0, z 0) (z - z 0) = 0

$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0) + F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0) + F_z(x_0,y_0,z_0)(z - z_0) = 0$
上面是三维梯度，事实上，也可以换成平面梯度来理解

Δ z = f x Δ x + f y Δ y

$\Delta z = f_x \Delta x + f_y \Delta y$
上式表示沿梯度向量的变化关系，变形一下

z - z 0 = f x (x - x 0) + f y (y - y 0)

$z-z_0 = f_x(x-x_0) + f_y(y-y_0)$
这事实上就是切平面的方程，至此，大家可以体会一下切平面的意义。
再变换一下

f x (x 0, y 0) (x - x 0) + f y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) = 0

$f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) - (z-z_0) = 0$
逆向运用“点法式”，可得

n ⃗ = (f x, f y, - 1)

$\vec{n} = (f_x, f_y,-1)$
注：貌似得到了两个法向量，但实际上单位化后它们是相等的。