微分与偏导的几何应用
空间曲面的切平面与法向量
首先何谓空间曲面,空间曲面有两种表现形式,一种以显函数形式表示
y=f(x,y)一种则以参数方程的形式表示
⎩⎪⎨⎪⎧x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)如果以显函数形式表示,空间曲面在某点的切平面就表示为其全微分的超平面
z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)问题是:如果以参数方程的形式表示,切平面该如何求得呢?我们当然是要化成显函数的形式了,但是显函数不总是那么容易求得,这时,我们想到隐函数存在定理。假设
∂(u,v)∂(x,y)=0,由隐函数存在定理2,在局部
x0=x(u0,v0),y0=y(u0,v0)就存在一个连续可微的隐函数组
{u=u(x,y)v=v(x,y)代入第三个方程中,就得到显函数
z=z(u(x,y),v(x,y))于是
{∂x∂z=∂u∂z∂x∂u+∂v∂z∂x∂v∂y∂z=∂u∂z∂y∂u+∂v∂z∂y∂v只需要我们求出
∂x∂u,∂y∂u,∂x∂v,∂y∂v
自然地,我们联想到Cramer法则:
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧∂x∂u=∂u∂x∂v∂y−∂v∂x∂u∂y∂v∂y∂x∂v=∂u∂x∂v∂y−∂v∂x∂u∂y−∂u∂y∂y∂u=∂u∂x∂v∂y−∂v∂x∂u∂y−∂v∂x∂y∂v=∂u∂x∂v∂y−∂v∂x∂u∂y∂u∂x这样,我们就求得了所有偏导数,就可以得到切平面的方程,切平面的法向量就是
(−∂x∂z,−∂y∂z,1)如果是参数方程形式
∂x∂z=det[∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y]det[∂u∂z∂u∂y∂v∂z∂v∂y]
∂y∂z=det[∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y]det[∂u∂z∂u∂x∂v∂z∂v∂x]
因此,参数方程形式下,法向量为:
(det[∂u∂y∂u∂z∂v∂y∂v∂z],det[∂u∂x∂u∂z∂v∂x∂v∂z],det[∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y])于是,参数方程形式下,只要以上三个行列式之一不为0,切平面就可以表为
∂(u,v)∂(y,z)(x−x0)+∂(u,v)∂(x,z)(y−y0)+∂(u,v)∂(x,y)(y−y0)=0
空间曲线的切线与法平面
空间曲线则为以下的参数方程形式
⎩⎪⎨⎪⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)其中
t∈[α,β],切线的方向向量该如何求解呢?
t∈[α,β],
t+Δt∈[α,β],假设
x(t),y(t),z(t)都可微,那么:方向向量就可以通过逼近的方式得到
Δt1[(x(t+Δt),y(t+Δt),z(t+Δt))−(x(t),y(t),z(t))]→(x′(t),y′(t),z′(t))与之正交的一切向量组成其法平面:
x′(t)(x−x(t))+y′(t)(y−y(t))+z′(z−z(t))=0当然,空间曲线可以由两个空间曲面相交得到
{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0在这种情况下,如何求得方向向量和法平面呢?我们不妨先讨论如下的情形:
{z=F(x,y)z=G(x,y)相交得到的空间曲线应当如何求解法平面,假设
∂(x,y)∂(F,G)=0,那么,由隐函数存在定理,就可以反解出
{x=x(z)y=y(z)再补充
z=z就成了参数方程形式
⎩⎪⎨⎪⎧x=x(z)y=y(z)z=z同样地,对于更一般的形式,不妨假设
∂(x,y)∂(F,G),∂(x,z)∂(F,G),∂(y,z)∂(F,G)不全为0,假设
∂(x,y)∂(F,G)=0,由隐函数存在定理,可以反解出
{x=x(z)y=y(z)再补充
z=z就成了参数方程形式
⎩⎪⎨⎪⎧x=x(z)y=y(z)z=z下面我们对一般形式进行讨论:
x′(z)=∂(x,y)∂(F,G)∂(y,z)∂(F,G)
y′(z)=∂(x,y)∂(F,G)∂(x,z)∂(F,G)因此,法平面方程就是:
∂(y,z)∂(F,G)(x−x0)+∂(x,z)∂(F,G)(y−y0)+∂(x,y)∂(F,G)(z−z0)=0
极值与条件极值
多元函数的极值
现在我们来讨论多元函数的极值问题,首先,同一元函数一样,如果多元函数
f(x1,⋯,xn)在
(x10,⋯,xn0)处取极值点,并且在
(x10,⋯,xn0)连续可微,那么首先在该点对各变元的偏导数为0,即
f′(x10,⋯,xn0)=0满足这个条件的点就称为驻点,然而驻点不一定都是极值点。同样地,对极值点的判定,我们可以借助“二阶导数”,也就是海色矩阵进行。
定理15.1
f(x1,⋯,xn)在
(x10,⋯,xn0)的某个邻域上二阶连续可微,
f′(x10,⋯,xn0)=0,
Hf(x0)为
f(x1,⋯,xn)
(x10,⋯,xn0)处的海色矩阵,则
(1)
Hf(x0)正定,则
f在
(x10,⋯,xn0)处取严格极小值
(2)
Hf(x0)负定,则
f在
(x10,⋯,xn0)处取严格极大值
(3)
Hf(x0)不定,则
f在
(x10,⋯,xn0)处不取极值
证:
(1)(2)我们仅证明(1),(2)的证明是类似的
由Taylor公式
f(x)=f(x0)+21(x−x0)THf(x0)(x−x0)+o((x−x0)T(x−x0))由于
Hf(x0)正定,存在正定矩阵
Q,使得
QHf(x0)QT=D=diag(λ1,⋯,λn)其中,
λ1,⋯,λn都是正数,是
Hf(x0)的特征值。对
x−x0作变换
Δy=Q(x−x0),就有
f(x)−f(x0)=21ΔyTDΔy+o(ΔyTΔy)于是
ΔxTΔxf(x)−f(x0)=21ΔyTΔyΔyTDΔy+ΔyTΔyo(ΔyTΔy)
ΔyTΔyΔyTDΔy=∑k=1nΔyk2∑k=1nλkΔyk2≥min(λ1,⋯,λn)>0(1)存在
δ>0,当
ΔxTΔx<δ
时
∣ΔyTΔyo(ΔyTΔy)∣<2min(λ1,⋯,λn)这样
ΔxTΔxf(x)−f(x0)>0从而
f(x)>f(x0)这样
f(x)在
x0处取得严格极小值
反过来,按照公式(1),如果
Hf(x0)不定,那么存在一正一负两个特征值,用相同的方法就可以证明
f(x)在
x0处不取极值,就证得了(3)
条件极值与拉格朗日乘数法
很多情况下,我们都是给定一定的条件求极值,即如下形式的优化问题:目标函数为
y=f(x1,⋯,xn)条件为
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧g1(x1,⋯,xn)=0g2(x1,⋯,xn)=0⋯gm(x1,⋯,xn)=0其中
m<n,在该条件下求极值或最值,我们假定
∂(x1,⋯,xm)∂(g1,⋯,gm)=0,由隐函数存在定理,就存在隐函数组
⎩⎪⎨⎪⎧x1=h1(xm+1,⋯,xn)⋯xm=hm(xm+1,⋯,xn)代入到目标函数中,就化成无条件极值问题
y=F(xm+1,⋯,xn)=f(h(xm+1,⋯,xn),xm+1,⋯,xn)由取极值的必要条件,就要求
∂xk∂F=0k=m+1,⋯,n对
k=m+1,⋯,n,就有
i=1∑m∂xk∂hi∂xi∂f+∂xk∂f=0(2)由隐函数存在定理,令
J=⎣⎡∂x1∂g1⋯∂x1∂gm⋯⋯⋯∂xm∂g1⋯∂xm∂gm⎦⎤由(2),就有
−[∂x1∂f⋯∂xm∂f]J−1⎣⎡∂xk∂g1⋯∂xk∂gm⎦⎤+∂xk∂f=0(2)令
λ=[λ1⋯λm]=−[∂x1∂f⋯∂xm∂f]J−1代入到(3)中,就有
∂xk∂f+i=1∑mλi∂xk∂gi=0当然,
k=1,⋯,m时
J−1⎣⎡∂xk∂g1⋯∂xk∂gm⎦⎤是线性方程组
Jx=⎣⎡∂xk∂g1⋯∂xk∂gm⎦⎤的解,观察
J的构造,就有
J−1⎣⎡∂xk∂g1⋯∂xk∂gm⎦⎤=ek即除了第
k个变元为1外,其余变元都为0,因此(3)也成立,而(3就相当于以下函数分别对
x1,⋯,xn求偏导并等于0
L(x1,⋯,xn,λ1,⋯,λm)=f(x1,⋯,xn)+i=1∑mλigi(x1,⋯,xn)在结合条件,取条件极值的必要条件是以上函数对各变元(包括
λ)的偏导数都为0,因而称为拉格朗日乘数法。但是,以上只是取条件极值的必要条件,还不能确认该点是条件极值点。确认条件极值点,一般来讲有两种方法,第一,利用条件海色矩阵,第二,利用最值的存在性。