总述：数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数
实数及其性质
相关声明：
1，为了讨论需要，将有限小数也表示为无限小数的形式。
eg：8 = 7.99999999… // -8 = -7.999999… // 0 = 0.000000…
2,将全体实数的集合记为R，即R= {x|x为实数}
一条定好了原点O和方向和单位长度的直线，称为数轴。任一实数都对应数轴商唯一一个点。因此“实数a”和“数轴上的点a”常常有相同意义
实数的定义：无理数和有理数统称为实数。
- 有理数定义：可以用分数p/q（p, q为整数，q != 0)表示，也可以使用有限小数或者无限循环小数来表示
- 无理数定义：无限不循环小数称为无理数
实数的大小关系
|| 定义一：x = a0.a1a2…an… ，y = b0.b1b2…bn…，其中a0，b0为非负整数，0 <= ak，bk <= 9
- 若ak = bk, (k = 0,1,2,…) 则称x与y相等，记为x = y；
- 若ak = bk,(k = 0,1,2…,l )，而al+1 > bl+1 ,则记为x > y
- 若ak = bk,(k = 0,1,2…,l)，而al+1 < bl+1 ,则记为x < y
|| 定义二：实数和有理数的近似关系
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设x = a0.a1a2…an… 为非负实数，则称有理数xn = a0.a1a2…an为实数x的n位不足近似，而有理数 |xn = xn + 1/10n，称为x的n位过剩近似
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设x = a0.a1a2…an… 为负实数，则称有理数|xn = a0.a1a2…an为实数x的n位过剩近似，而有理数 xn = xn - 1/10n，称为x的n位不足近似
实数的主要性质
- 实数集R对于加减乘除的四则运算是封闭的，即任意两个实数的和，差，积商为实数
- 实数集是有序的，即任意两个实数a,b都会满足三个关系之一： < , =, >
- 实数的大小关系具有传递性
- 实数具有阿基米德性 —> 即对任何a，b∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b
- 实数集R具有稠密性(介值性？)，两个不等的实数之间必定存在有另一个实数
绝对值和不等式
|| 实数a的绝对值定义：
从数轴上看，数a的绝对值|a|就是a到远点的距离
|| 实数a的绝对值 |a| 的性质：（注意第四条性质的证明）
数集-确界原理
区间的定义：
邻域的定义：
有界集-确界原理
|| 定义一：上下界的定义
设S⊂R，若存在数M，使得对一切x∈S，都有x <= M,则称S为有上界的数集，M为S的一个上界
设S⊂R，若存在数L，使得对一切x∈S，都有x >= L,则称S为有下界的数集，L为S的一个下界
若数即S既有上界又有下界，则称S为有界集，反之称为无界集
|| 定义二：上下确界的定义
设S⊂R，若M满足以下两个条件则称之为上确界
1，对一切x∈S，都有x <= M。（即M是S的上界）
2，对一切m<M，都会存在x0∈S，使得x0>m（即M是S的最小上界）
|| 定理1：确界定理
设S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界 / 若S有下界，则必有下确界
|| 当±∞也看作确界（非正常确界）时，有推广的确界定理：非空数集必有上，下确界（正常或非正常确界）
函数的概念
|| 定义一： 给定两个实数集D和M，若有对应法则f，使得对D中的每个数x都有唯一的y∈M与之对应，则称f是数集D上的函数。记作： f : D --> M
定义域，值域，自变量，因变量，单值对应(映射)，象(y)，原象(x)
|| 函数的表示法：解析法，列表法，图像法
|| 函数的运算
- 四则运算
- 复合运算(复合函数)
|| 反函数：f 与 f-1互为反函数
|| 基本初等函数：
- 常量函数
- 幂函数
- 指数函数
- 对数函数
- 三角函数
- 反三角函数
|| 初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数
某些特殊函数
|| 有界函数（上界函数/下界函数）
|| 单调函数（增函数/严格增函数/减函数/严格减函数）
定义：单调函数的定义
定理：反函数的严格单调同步性
若y为严格增(减)函数，则f必有反函数f-1在定义域f(D)上也是单调增(减)函数
|| 奇偶函数
定义：奇偶函数的定义
奇函数：设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数，若对每一个x∈D有 -f(-x) = f(x)
偶奇函数：设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数，若对每一个x∈D有 f(-x) = f(x)
|| 周期函数
定义：周期函数的定义
设f为定义在数集D上的函数，若存在T>0,使得对于一切f（x+T） = f（x），则称f为周期函数，T为f的一个周期
